《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

有下列式子：①$\{ a,b\} = \{ b,a\}$；②$\{ a,b\} \subseteq \{ b,a\}$；③$\varnothing = \{ \varnothing\}$；④$\{ 0\} = \varnothing$；⑤$\varnothing\subseteq \{ 0\}$；⑥$0\in \{ 0\}$.其中不正确的式子有____（填序号）.

答案： ③④

集合$M = \{ 1,2,3,4,5\}$的子集个数是____.

答案： 32

母题 1 判断集合间的关系
例 1 写出下列每组中集合之间的关系：
(1)$A = \{ x|-3\leq x ＜ 5\}$，$B = \{ x|-1 ＜ x ＜ 2\}$；
(2)$A = \{ x|x = 2n - 1,n\in \mathbf{N}^*\}$，$B = \{ x|x = 2n + 1,n\in \mathbf{N}^*\}$；
(3)$A = \{ x\in \mathbf{Z}|-1\leq x ＜ 3\}$，$B = \{ x|x = |y|,y\in A\}$.

答案：

(1) $A = \{ x \mid -3 \leq x ＜ 5 \}$, $B = \{ x \mid -1 ＜ x ＜ 2 \}$，
在数轴上表示，$B$ 的所有元素都在 $A$ 的范围内，

因此 $B \subsetneqq A$。
(2) $A = \{ x \mid x = 2n - 1, n \in \mathbf{N}^* \}$，
$x = 1, 3, 5, 7, 9, \ldots$，
$B = \{ x \mid x = 2n + 1, n \in \mathbf{N}^* \}$，
$x = 3, 5, 7, 9, \ldots$，
显然 $B$ 的所有元素都在 $A$ 中，但 $1 \in A$ 且 $1 \notin B$，
因此 $B \subsetneqq A$。
(3) $A = \{ x \in \mathbf{Z} \mid -1 \leq x ＜ 3 \}$，
$A = \{ -1, 0, 1, 2 \}$，
$B = \{ x \mid x = |y|, y \in A \}$，
$B = \{ 0, 1, 2 \}$，
显然 $B$ 的所有元素都在 $A$ 中，但 $-1 \in A$ 且 $-1 \notin B$，
因此 $B \subsetneqq A$。

母题 2 由集合间的关系求参数的值或范围 5年1考
例 2(新高考Ⅱ卷)设集合$A = \{ 0,-a\}$，$B = \{ 1,a - 2,2a - 2\}$，若$A\subseteq B$，则$a =$(B)

A.$2$
B.$1$
C.$\frac{2}{3}$
D.$-1$

答案： B

例 3 已知集合$A = \{ x|-1\leq x\leq 6\}$，$B = \{ x|a - 1 ＜ x ＜ 2a + 3\}$.若$B\subseteq A$，求实数$a$的取值范围.

答案：
解：当$B = \varnothing$时，$a - 1\geq 2a + 3$，解得$a\leq - 4$，符合题意；当$B\neq\varnothing$时，因为$B\subseteq A$，如图，
所以$\begin{cases}a - 1\geq - 1,\\a - 1 ＜ 2a + 3,\\2a + 3\leq 6,\end{cases}$解得$0\leq a\leq\frac{3}{2}$.
综上，实数$a$的取值范围是$\{ a|a\leq - 4$或$0\leq a\leq\frac{3}{2}\}$.