《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 4(1)若$x\gt0$，$y\gt0$且$x + y = 1$，则$\frac{4}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为(9)
A.$7$
B.$8$
C.$9$
D.$16$

答案：
(1)
因为$x\gt0$，$y\gt0$且$x + y = 1$，则$\frac{4}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{4}{x}+\frac{1}{y})(x + y)$
$=5+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}\geqslant 5 + 2\sqrt{\frac{4y}{x}·\frac{x}{y}} = 9$
当且仅当$\frac{4y}{x}=\frac{x}{y}$，结合$x + y = 1$，解得$x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{1}{3}$时等号成立。
所以$\frac{4}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$9$，答案选C。

(2)若正数$x$，$y$满足$x + y = xy$，则$x + 2y$的最小值为(C)
A.$6$
B.$2 + 3\sqrt{2}$
C.$3 + 2\sqrt{2}$
D.$2 + 2\sqrt{3}$

答案：
(2)
因为正数$x$，$y$满足$x + y = xy$，两边同时除以$xy$得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$。
则$x + 2y=(x + 2y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}+3\geqslant 2\sqrt{\frac{x}{y}·\frac{2y}{x}} + 3=3 + 2\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{x}{y}=\frac{2y}{x}$，结合$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$，解得$x=\sqrt{2}+1$，$y=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$时等号成立。
所以$x + 2y$的最小值为$3 + 2\sqrt{2}$，答案选C。

例 5 若正实数$x$，$y$满足$x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$，则$x\sqrt{1 + y^{2}}$的最大值是$\frac{3\sqrt{2}}{4}$。

答案： 由已知 $x ＞ 0,y ＞ 0$ 且 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$，则$x\sqrt{1 + y^{2}} = \sqrt{2} · x · \sqrt{\frac{1 + y^{2}}{2}}$。
根据基本不等式 $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$（其中 $a,b \geq 0$），
$x\sqrt{1 + y^{2}} \leq \sqrt{2} · \frac{x^{2} + \frac{1 + y^{2}}{2}}{2}$，
将 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 代入上式，得：
$\sqrt{2} · \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当 $x^{2} = \frac{1 + y^{2}}{2} = \frac{3}{4}$，即 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，等号成立。
所以 $x\sqrt{1 + y^{2}}$ 的最大值为 $\frac{3\sqrt{2}}{4}$。