《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 3 空间几何体的平面展开图
例 3 一些几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为(B)

答案： B

例 4 如图，圆台的母线 $ AB $ 的长为 20 cm，上、下底面的半径分别为 5 cm 和 10 cm，从母线 $ AB $ 的中点 $ M $ 处拉一根绳子绕圆台侧面到点 $ B $，求这根绳子长度的最小值。

答案：
解：如图，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥，连接 $ MB' $。
在圆台的轴截面中，
因为 $ Rt\triangle OPA \sim Rt\triangle OQB $，
所以 $ \frac{OA}{OA + AB} = \frac{PA}{QB} $，所以 $ \frac{OA}{OA + 20} = \frac{5}{10} $，解得 $ OA = 20(cm) $。
设 $ \angle BOB' = \alpha $，由 $ \overset{\frown}{BB'} $ 的长与底面圆 $ Q $ 的周长相等，得 $ 2 × 10 × \pi = 2OB × \pi × \frac{\alpha}{360^{\circ}} $，
即 $ 20\pi = 2 × (20 + 20)\pi × \frac{\alpha}{360^{\circ}} $，
解得 $ \alpha = 90^{\circ} $。
在 $ Rt\triangle B'OM $ 中，
$ MB' = \sqrt{OM^{2} + OB'^{2}} = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50(cm) $。
答：这根绳子长度的最小值为 50 cm。

母题 4 空间几何体的截面问题
例 5 (1)(多选)用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是(ACD)
A. 长方体
B. 圆台
C. 四棱台
D. 正四面体
(2) 某圆锥的高为 1，底面半径为 $ \sqrt{3} $，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积的最大值为(A)
A. 2
B. $ \sqrt{3} $
C. 4
D. 1
(3)(多选)两平行平面截半径为 5 的球，若截面面积分别为 $ 9\pi $ 和 $ 16\pi $，则这两个平面间的距离为(AD)
A. 1
B. 3
C. 4
D. 7

答案：
(1)ACD
(2)A
(3)AD