《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 2 空间向量平行与垂直的坐标表示
例 2 已知空间向量 $ a = (1,0,1) $，$ b = (2,-1,0) $，$ c = (\lambda + 4,-\lambda,\lambda) $。
(1) 若 $ (a + b) // c $，求 $ \lambda $ 的值；
(2) 若 $ ka + b $ 与 $ 2a - b $ 相互垂直，求 $ k $ 的值。

答案： 例2
(1) 解：
$\because \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,-1,1)$，且$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})// \boldsymbol{c}$，
$\therefore$ 存在$\mu \in \mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\mu \boldsymbol{c}$，即
$\begin{cases} 3=\mu(\lambda+4), \\ -1=-\mu\lambda, \\ 1=\mu\lambda, \end{cases}$
解得$\mu=\frac{1}{2}$，$\lambda=2$。
(2) 解：
$\because k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k+2,-1,k)$，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(0,1,2)$，且$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$垂直，
$\therefore (k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=0×(k+2)+(-1)×1+k×2=2k-1=0$，
解得$k=\frac{1}{2}$。

例 3 如图，四边形 $ ABCD $ 是边长为 2 的正方形，平面 $ ABCD \perp $ 平面 $ ABEF $，$ AB \perp BE $，$ AF // BE $，$ AB = BE = 2 $，$ AF = 1 $。
(1) 求证：$ AC \perp $ 平面 $ BDE $；
(2) 求证：$ AC // $ 平面 $ DEF $。

答案： 例3
证明：
(1) 平面$ABCD\perp$平面$ABEF$，交线$AB$，$BE\subset$平面$ABEF$且$BE\perp AB$，故$BE\perp$平面$ABCD$。以$A$为原点，$\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF}$为$x,y,z$轴正方向建系，坐标为$A(0,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$E(0,2,2)$。
$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{BD}=(2,-2,0)$，$\overrightarrow{BE}=(0,0,2)$。
$\because \overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=4-4=0$，$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BE}=0$，
$\therefore AC\perp BD$，$AC\perp BE$。又$BD\cap BE=B$，$BD,BE\subset$平面$BDE$，
$\therefore AC\perp$平面$BDE$。
(2) $\overrightarrow{DE}=(-2,2,2)$，$\overrightarrow{DF}=(-2,0,1)$。设$\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{DE}+n\overrightarrow{DF}$，则
$\begin{cases} 2=-2m-2n, \\ 2=2m, \\ 0=2m+n, \end{cases}$
解得$m=1$，$n=-2$。$\therefore \overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF}$共面，又$AC\not\subset$平面$DEF$，
$\therefore AC//$平面$DEF$。

母题 3 利用空间向量求空间中两点间的距离和异面直线所成角
例 4 已知在空间直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(1,-2,-1) $，$ B(1,4,2) $，$ C(-1,3,1) $，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $ 上的高，则 $ AD $ 的长为$\frac{3\sqrt{14}}{2}$。

答案： 例4：$\frac{3\sqrt{14}}{2}$

例 5 在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ P $ 为 $ B_1D_1 $ 的中点，则直线 $ PB $ 与 $ AD_1 $ 所成的角为(D)

A.$ \frac{\pi}{2} $
B.$ \frac{\pi}{3} $
C.$ \frac{\pi}{4} $
D.$ \frac{\pi}{6} $

答案： 例5：D