《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例6 比较下列各组数的大小：
（1）$ 4.1 ^ { \frac { 1 } { 3 } }, 3.8 ^ { - \frac { 2 } { 3 } } $ 和 $ - 1.9 ^ { - \frac { 3 } { 5 } } $；
（2）$ 1.7 ^ { \frac { 1 } { 2 } }, 0.7 ^ { \frac { 1 } { 2 } } $ 和 $ 0.7 ^ { 2 } $；
（3）$ \left( \frac { 5 } { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 5 } } $ 和 $ \left( \frac { 7 } { 4 } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } $；
（4）$ \left( \frac { 4 } { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } }, 2 ^ { \frac { 2 } { 3 } }, \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 3 }, \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } $。

答案： （1）$\because 4.1^{\frac{1}{3}}＞4.1^0=1$，$0＜3.8^{-\frac{2}{3}}=\left(\frac{1}{3.8}\right)^{\frac{2}{3}}＜1$，$-1.9^{-\frac{3}{5}}=-\left(\frac{1}{1.9}\right)^{\frac{3}{5}}＜0$，$\therefore 4.1^{\frac{1}{3}}＞3.8^{-\frac{2}{3}}＞-1.9^{-\frac{3}{5}}$。
（2）$\because$幂函数$y=x^{\frac{1}{2}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$1.7＞0.7$，$\therefore 1.7^{\frac{1}{2}}＞0.7^{\frac{1}{2}}$。$\because$指数函数$y=0.7^x$在$\mathbf{R}$上单调递减，且$\frac{1}{2}＜2$，$\therefore 0.7^{\frac{1}{2}}＞0.7^2$，$\therefore 1.7^{\frac{1}{2}}＞0.7^{\frac{1}{2}}＞0.7^2$。
（3）$\because$幂函数$y=x^{\frac{1}{5}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$\frac{5}{3}＜\frac{7}{4}$，$\therefore \left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{1}{5}}＜\left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{1}{5}}$。$\because$指数函数$y=\left(\frac{7}{4}\right)^x$在$\mathbf{R}$上单调递增，且$\frac{1}{5}＜\frac{3}{4}$，$\therefore \left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{1}{5}}＜\left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{3}{4}}$，$\therefore \left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{1}{5}}＜\left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{3}{4}}$。
（4）$\because 2^{\frac{2}{3}}=(2^2)^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{1}{3}}$，幂函数$y=x^{\frac{1}{3}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$4＞\frac{4}{3}$，$\therefore 4^{\frac{1}{3}}＞\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$。$\because \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}}＞\left(\frac{4}{3}\right)^0=1$，$\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}＜1$，$(-\frac{2}{3})^3＜0$，$\therefore 2^{\frac{2}{3}}＞\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}}＞\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{2}}＞\left(-\frac{2}{3}\right)^3$。

例7 （1）若函数 $ f ( x ) = a ^ { x } ( a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 ) $ 在区间 $ [ - 1, 2 ] $ 上的最大值为 $ 4 $，最小值为 $ m $，且函数 $ g ( x ) = ( 1 - 4 m ) x ^ { 2 } $ 在 $ [ 0, + \infty ) $ 上单调递增，则 $ a =$$\frac{1}{4}$ 。
（2）若函数 $ f ( x ) = a ^ { 2 x } + 3 a ^ { x } - 2 ( a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 ) $ 在区间 $ [ - 1, 1 ] $ 上的最大值为 $ 8 $，则它在这个区间上的最小值为$-\frac{1}{4}$。

答案： （1）$\frac{1}{4}$；（2）$-\frac{1}{4}$。