《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例7 已知条件：①$\frac{tanB+tanC}{tanB}=\frac{2sinA}{sinB}$；②$\frac{1+sin2C-cos2C}{1+sin2C+cos2C}=\sqrt{3}$；③$\sqrt{3}sinA=2sinCsin(B+\frac{π}{3})$。在这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答。
问题：在$△ABC$中，角A，B，C满足：①$\frac{tanB+tanC}{tanB}=\frac{2sinA}{sinB}$。
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。
(1)求角C的大小；
(2)若$△ABC$为锐角三角形，求$sin^{2}A+sin^{2}B$的取值范围。

答案：
(1)选择条件①$\frac{tanB+tanC}{tanB}=\frac{2sinA}{sinB}$。
左边$=\frac{tanB + tanC}{tanB}=1+\frac{tanC}{tanB}=1+\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$，右边$=\frac{2sinA}{sinB}$，
则$1+\frac{sinCcosB}{cosCsinB}=\frac{2sinA}{sinB}$，两边同乘$sinBcosC$得：$sinBcosC + sinCcosB=2sinAcosC$，
即$sin(B + C)=2sinAcosC$，因为$sin(B + C)=sinA$且$sinA≠0$，
所以$sinA=2sinAcosC$，得$cosC=\frac{1}{2}$，又$C∈(0,π)$，故$C=\frac{π}{3}$。
(2)因为$C=\frac{π}{3}$，所以$B=\frac{2π}{3}-A$，$△ABC$为锐角三角形，则$\left\{\begin{array}{l}0\lt A\lt\frac{π}{2}\\0\lt\frac{2π}{3}-A\lt\frac{π}{2}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{6}\lt A\lt\frac{π}{2}$。
$sin^{2}A + sin^{2}B=sin^{2}A + sin^{2}(\frac{2π}{3}-A)=\frac{1 - cos2A}{2}+\frac{1 - cos(\frac{4π}{3}-2A)}{2}=1-\frac{1}{2}[cos2A + cos(\frac{4π}{3}-2A)]$，
因为$cos(\frac{4π}{3}-2A)=-\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A$，所以$cos2A + cos(\frac{4π}{3}-2A)=\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A$，
则原式$=1-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A)=1+\frac{1}{2}sin(2A-\frac{π}{6})$。
因为$\frac{π}{6}\lt A\lt\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}\lt 2A-\frac{π}{6}\lt\frac{5π}{6}$，$\frac{1}{2}\lt sin(2A-\frac{π}{6})\leq1$，
故$\frac{5}{4}\lt 1+\frac{1}{2}sin(2A-\frac{π}{6})\leq\frac{3}{2}$，即$sin^{2}A + sin^{2}B$的取值范围为$(\frac{5}{4},\frac{3}{2}]$。
答案
(1)$C=\frac{π}{3}$；
(2)$(\frac{5}{4},\frac{3}{2}]$