《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 2 总体百分位数的估计
例 3 (1) 已知一组数据按照从小到大的顺序排列为 $4,5,6,8,m,13,18,30$，若这组数据的 $80\%$ 分位数是中位数的 2 倍，则 $m=$(10)
A.12
B.11
C.10
D.9

答案：
(1) 该组数据共8个，中位数为第4、5个数的平均值，即$\frac{8+m}{2}$。
80%分位数位置：$i=8×80\%=6.4$，非整数，取第7个数，为18。
由题意：$18=2×\frac{8+m}{2}$，解得$m=10$。
答案：C

(2) 某校排球社的学生为训练动作组织了垫排球比赛，根据排球社 50 名学生的垫球个数画的频率分布直方图如图所示，所有学生的垫球个数都在 $5\sim40$ 之间，估计垫球个数的样本数据的第 75 百分位数是(28)

A.17.5
B.18.75
C.27
D.28

答案：
(2) 各区间频率：$[5,10):0.05$，$[10,15):0.05$，$[15,20):0.20$，$[20,25):0.30$，$[25,30):0.25$，$[30,35):0.10$，$[35,40]:0.05$。
累计频率：$[5,25)$为$0.05+0.05+0.20+0.30=0.60$，$[5,30)$为$0.60+0.25=0.85$，75%分位数在$[25,30)$。
需$0.75-0.60=0.15$频率，该区间频率密度$0.05$，长度$\frac{0.15}{0.05}=3$，故$25+3=28$。
答案：D

母题 3 样本数字特征及其应用 5年27考
例 4(多选)(新课标 I 卷)有一组样本数据 $x_1,x_2,·s,x_6$，其中 $x_1$ 是最小值，$x_6$ 是最大值，则(BD)
A.$x_2,x_3,x_4,x_5$ 的平均数等于 $x_1,x_2,·s,x_6$ 的平均数
B.$x_2,x_3,x_4,x_5$ 的中位数等于 $x_1,x_2,·s,x_6$ 的中位数
C.$x_2,x_3,x_4,x_5$ 的标准差不小于 $x_1,x_2,·s,x_6$ 的标准差
D.$x_2,x_3,x_4,x_5$ 的极差不大于 $x_1,x_2,·s,x_6$ 的极差

答案： BD

例 5(全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选择其中一个用甲种工艺处理，另一个用乙种工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_i,y_i(i = 1,2,·s,10)$，试验结果如下：

记 $z_i=x_i - y_i(i = 1,2,·s,10)$，记 $z_1,z_2,·s,z_{10}$ 的样本平均数为 $\overline{z}$，样本方差为 $s^2$。
(1) 求 $\overline{z},s^2$；
(2) 判断用甲种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较用乙种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果 $\overline{z}\geq2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$，那么认为用甲种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较用乙种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)。

答案：
(1)
由$z_i = x_i - y_i$，$i = 1,2,·s,10$。
已知$x_i$：$545,533,551,522,575,544,541,568,596,548$；
$y_i$：$536,527,543,530,560,533,522,550,576,536$。
计算$z_i$的值：
$z_1=545 - 536 = 9$，
$z_2=533 - 527 = 6$，
$z_3=551 - 543 = 8$，
$z_4=522 - 530 = - 8$，
$z_5=575 - 560 = 15$，
$z_6=544 - 533 = 11$，
$z_7=541 - 522 = 19$，
$z_8=568 - 550 = 18$，
$z_9=596 - 576 = 20$，
$z_{10}=548 - 536 = 12$。
计算$\overline{z}$：
$\overline{z}=\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}z_i=\frac{9 + 6+8 - 8 + 15 + 11 + 19 + 18 + 20 + 12}{10}=\frac{110}{10}=11$。
计算$s^2$：
$s^2=\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}(z_i-\overline{z})^2$
$=\frac{1}{10}[(9 - 11)^2+(6 - 11)^2+(8 - 11)^2+(-8 - 11)^2+(15 - 11)^2+(11 - 11)^2+(19 - 11)^2+(18 - 11)^2+(20 - 11)^2+(12 - 11)^2]$
$=\frac{1}{10}[4 + 25+9 + 361+16+0+64+49+81+1]$
$=\frac{1}{10}×610 = 61$。
(2)
计算$2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$的值：
$2\sqrt{\frac{s^2}{10}}=2\sqrt{\frac{61}{10}}\approx2×2.47 = 4.94$。
因为$\overline{z}=11$，且$11＞4.94$，即$\overline{z}\geq2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$。
所以认为用甲种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较用乙种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。