《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 4 (1) 设 $ a = \log_{4}6 $，$ b = \log_{2}3 $，$ c = \frac{3}{2} $，则(D)
A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ b ＞ a $
C.$ b ＞ a ＞ c $
D.$ b ＞ c ＞ a $

答案：
(1)
$a = \log_{4}6 = \frac{1}{2}\log_{2}6 = \log_{2}\sqrt{6}$，
$c = \frac{3}{2} = \log_{2}2^{\frac{3}{2}} = \log_{2}\sqrt{8}$，
因为函数$y = \log_{2}x$在$(0, +\infty)$上单调递增，且$\sqrt{6} \lt \sqrt{8} \lt 3$，
所以$\log_{2}\sqrt{6} \lt \log_{2}\sqrt{8} \lt \log_{2}3$，
即$a \lt c \lt b$，也就是$b \gt c \gt a$。
答案选D。

(2) 已知 $ a = \log_{\frac{1}{2}}3 $，$ b = \ln \frac{1}{2} $，$ c = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} $，则(B)
A.$ b ＜ a ＜ c $
B.$ a ＜ b ＜ c $
C.$ a ＜ c ＜ b $
D.$ b ＜ c ＜ a $

答案：
(2)
因为函数$y = \log_{\frac{1}{2}}x$在$(0, +\infty)$上单调递减，$3\gt\frac{1}{2}$，
所以$\log_{\frac{1}{2}}3 \lt \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=-1$，即$a \lt -1$。
因为函数$y = \ln x$在$(0, +\infty)$上单调递增，$e^{-1} \lt \frac{1}{2} \lt 1$，
所以$\ln e^{-1} \lt \ln \frac{1}{2} \lt \ln 1$，即$-1 \lt b \lt 0$。
因为$c = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} \gt 0$，
所以$a \lt b \lt c$。
答案选B。

例 5 求函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(3 - 2x - x^{2}) $ 的单调区间和值域。

答案： 解：
由题意，得$3 - 2x - x^{2} ＞ 0$，
即$x^{2} + 2x - 3 ＜ 0$，
因式分解得$(x + 3)(x - 1) ＜ 0$，
解得$-3 ＜ x ＜ 1$，
所以函数$f(x)$的定义域为$(-3, 1)$。
令$u = 3 - 2x - x^{2} = -(x + 1)^{2} + 4$，
根据二次函数的性质，$u$在$(-3, -1]$上单调递增，在$(-1, 1)$上单调递减。
又因为$f(u) = \log_{\frac{1}{2}}u$在$(0, +\infty)$上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，$f(x)$在$(-3, -1]$上单调递减，在$(-1, 1)$上单调递增。
因为$u = 3 - 2x - x^{2} = -(x + 1)^{2} + 4 \leq 4$，
所以$\log_{\frac{1}{2}}u \geq \log_{\frac{1}{2}}4 = -2$，
所以函数$f(x)$的值域为$[-2, +\infty)$。