《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 4 对于正整数 $a$，$b$，$c(a \leq b \leq c)$ 和非零实数 $x$，$y$，$z$，$w$，若 $a^x = b^y = c^z = 70^w \neq 1$，$\frac{1}{w} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$，求 $a$，$b$，$c$ 的值。

答案： $a=2$，$b=5$，$c=7$

例 5 解下列方程：
（1）$(\frac{1}{32})^x = 8^{1 - x}$；
（2）$9^x + 6^x = 2^{2x + 1}$。

答案： （1）
由 $(\frac{1}{32})^x = 8^{1 - x}$，
将两边转化为以2为底数的形式：$2^{-5x} = 2^{3(1 - x)}$，
即 $2^{-5x} = 2^{3 - 3x}$，
由于底数相同，比较指数：$-5x = 3 - 3x$，
移项并合并同类项：$-2x = 3$，
解得：$x = -\frac{3}{2}$。
（2）
由 $9^x + 6^x = 2^{2x + 1}$，
将等式两边同时除以 $4^x$：$\frac{9^x}{4^x} + \frac{6^x}{4^x} = \frac{2^{2x + 1}}{4^x}$，
即 $(\frac{3}{2})^{2x} + (\frac{3}{2})^x = 2$，
移项得：$(\frac{3}{2})^{2x} + (\frac{3}{2})^x - 2 = 0$，
令 $(\frac{3}{2})^x = t$（$t ＞ 0$），则 $t^2 + t - 2 = 0$，
因式分解：$(t - 1)(t + 2) = 0$，
解得：$t = 1$ 或 $t = -2$（舍去，因为 $t ＞ 0$），
即 $(\frac{3}{2})^x = 1$，
解得：$x = 0$。

例 6 已知函数 $f(x) = 2^x + 2^{ax + b}$，且 $f(-1) = \frac{5}{2}$，$f(0) = 2$。
（1）求 $a$，$b$ 的值；
（2）若 $f(x) = \frac{65}{8}$，求 $x$ 的值。

答案： （1）由题意，得
$\begin{cases}2^{-1} + 2^{-a + b} = \frac{5}{2} \\2^{0} + 2^{b} = 2\end{cases}$
化简第二个方程：$1 + 2^b = 2$，解得$2^b = 1$，所以$b = 0$。
将$b = 0$代入第一个方程：$\frac{1}{2} + 2^{-a} = \frac{5}{2}$，即$2^{-a} = 2$，解得$a = -1$。
故$a = -1$，$b = 0$。
（2）由（1）知$f(x) = 2^x + 2^{-x}$。
令$t = 2^x$（$t ＞ 0$），则$t + \frac{1}{t} = \frac{65}{8}$。
方程两边同乘$8t$得：$8t^2 + 8 = 65t$，即$8t^2 - 65t + 8 = 0$。
因式分解：$(8t - 1)(t - 8) = 0$，解得$t = 8$或$t = \frac{1}{8}$。
当$t = 8$时，$2^x = 8$，解得$x = 3$；
当$t = \frac{1}{8}$时，$2^x = \frac{1}{8}$，解得$x = -3$。
故$x = 3$或$x = -3$。