《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 利用幂函数的性质，比较下列各题中几个数的大小：
(1) $ 2.3^{\frac{1}{4}} $ 与 $ 2.4^{\frac{1}{4}} $；
(2) $ 0.31^{-6} $ 与 $ 4^{-3} $；
(3) $ 4.1^{\frac{1}{4}},3.8^{-\frac{1}{4}},(-1.9)^3 $.

答案：
(1)
$\because$ 幂函数 $y = x^{\frac{1}{4}}$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，且 $2.3 ＜ 2.4$，
$\therefore 2.3^{\frac{1}{4}} ＜ 2.4^{\frac{1}{4}}$。
(2) $4^{-3} = (2^2)^{-3} = 2^{-6}$，
$\because$ 幂函数 $y = x^{-6}$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，且 $0.31 ＜ 2$（或$0.31＜4^{\frac{1}{2}} = 2$），
$\therefore 0.31^{-6} ＞ 2^{-6}$，
即 $0.31^{-6} ＞ 4^{-3}$。
(3)
$\because 4.1^{\frac{1}{4}} ＞ 1^{\frac{1}{4}} = 1$，
$0 ＜ 3.8^{-\frac{1}{4}} ＜ 1^{-\frac{1}{4}} = 1$，
$(-1.9)^3 ＜ 0$，
$\therefore (-1.9)^3 ＜ 3.8^{-\frac{1}{4}} ＜ 4.1^{\frac{1}{4}}$。

例 4 若幂函数 $ f(x) = (2m^2 - 5m + 3)x^{2m^2 - 9m + 9} $ 在 $ (0,+\infty) $ 上单调递减，则 $ m $ 的值为多少？

答案： 解：因为$f(x)$是幂函数，所以$2m^2 - 5m + 3 = 1$，即$2m^2 - 5m + 2 = 0$，解得$m = 2$或$m = \frac{1}{2}$。
当$m = 2$时，$2m^2 - 9m + 9 = 2×2^2 - 9×2 + 9 = 8 - 18 + 9 = -1$，则$f(x) = x^{-1}$，在$(0, +\infty)$上单调递减，符合题意。
当$m = \frac{1}{2}$时，$2m^2 - 9m + 9 = 2×(\frac{1}{2})^2 - 9×\frac{1}{2} + 9 = 2×\frac{1}{4} - \frac{9}{2} + 9 = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} + 9 = -4 + 9 = 5$，则$f(x) = x^5$，在$(0, +\infty)$上单调递增，不符合题意。
综上，$m = 2$。