《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

（1）代数法：将直线方程与双曲线方程联立，消去 $ y $（或 $ x $）. 若得到的方程二次项系数为 0，则直线与双曲线的渐近线平行（或重合），直线与双曲线相交（或相离），只有一个公共点（或无公共点）；当二次项系数不为 0 时，根据 $ \Delta $ 符号进行判断即可.
（2）几何法：① 当直线过定点时，根据定点位置，比较双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定位置关系；② 当直线的斜率一定时，通过平移直线，比较直线的斜率和双曲线渐近线的斜率的大小关系来确定位置关系.

答案： 代数法：
1. 联立直线与双曲线方程，消去 $ y $（或 $ x $）得关于 $ x $（或 $ y $）的方程。
2. 若所得方程二次项系数为 0：
直线与双曲线渐近线平行，相交（有 1 个公共点）；
直线与双曲线渐近线重合，相离（无公共点）。
3. 若二次项系数不为 0，计算判别式 $ \Delta $：
$ \Delta ＞ 0 $：相交（2 个公共点）；
$ \Delta = 0 $：相切（1 个公共点）；
$ \Delta ＜ 0 $：相离（无公共点）。
几何法：
① 直线过定点时：
由定点位置，比较双曲线渐近线斜率与直线斜率大小关系，确定位置关系。
② 直线斜率一定时：
平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率大小关系，确定位置关系。

母题 5 实际生活中与双曲线有关的问题
例 7 单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整. 如图 1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面. 某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图 2，最细处的直径为 100 m，楼底的直径为 $ 50\sqrt{22} $ m，楼顶直径为 $ 50\sqrt{6} $ m，最细处距楼底 300 m，则该地标建筑的高为(C)

A.350 m
B.375 m
C.400 m
D.450 m
解析 以地标建筑的最细处所在直线为 $ x $ 轴，双曲线的虚轴为 $ y $ 轴，建立平面直角坐标系如图所示.
由题意可得，$ A(50,0) $，$ C(25\sqrt{22},-300) $.
设双曲线的方程是 $ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $，
则 $ \begin{cases}a=50,\\\dfrac{(25\sqrt{22})^2}{50^2}-\dfrac{(-300)^2}{b^2}=1,\end{cases} $
解得 $ \begin{cases}a=50,\\b=100\sqrt{2},\end{cases} $
所以双曲线的方程是 $ \dfrac{x^2}{2500}-\dfrac{y^2}{20000}=1 $. 设点 $ B(25\sqrt{6},y_0)(y_0＞0) $，将点 $ B $ 的坐标代入双曲线的方程，得 $ \dfrac{25^2×6}{2500}-\dfrac{y_0^2}{20000}=1 $，解得 $ y_0=100 $，所以该地标建筑的高为 $ 300+100=400(m) $.
答案 C

答案： C