《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 10 某医药研究所研发了一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升血液中的含药量 $ y $（微克）与服药的时间 $ t $（时）之间近似满足如图所示的曲线，其中 $ OA $ 段是线段，曲线 $ AB $ 段是函数 $ y = ka^{t} $（$ t \geq 1 $，$ a ＞ 0 $，且 $ k $，$ a $ 是常数）的图象的一部分。
(1) 写出服药后 $ y $ 关于 $ t $ 的函数解析式。
(2) 据测定，每毫升血液中的含药量不少于 $ 2 $ 微克时治疗疾病有效。假设某人第一次服药为早上 $ 6:00 $，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点？

答案：
(1)
当 $0\leq t＜1$ 时，设 $y = kt$，把 $A(1,8)$ 代入得 $k = 8$，所以 $y = 8t$。
当 $t\geq1$ 时，设 $y = ka^{t}$，把 $A(1,8)$，$B(7,1)$ 代入得 $\begin{cases}ka = 8\\ka^{7}=1\end{cases}$，
两式相除得 $a^{6}=\frac{1}{8}$，因为 $a＞0$，所以 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $k = 8\sqrt{2}$，所以 $y = 8\sqrt{2}·(\frac{\sqrt{2}}{2})^{t}$。
综上，$y=\begin{cases}8t(0\leq t＜1)\\8\sqrt{2}·(\frac{\sqrt{2}}{2})^{t}(t\geq1)\end{cases}$。
(2)
当 $t\geq1$ 时，令 $8\sqrt{2}·(\frac{\sqrt{2}}{2})^{t}\geq2$，即 $(\frac{\sqrt{2}}{2})^{t}\geq\frac{2}{8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$，
$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{t}\geq(\frac{\sqrt{2}}{2})^{5}$，因为 $y = a^{t}$（$0＜a＜1$）单调递减，所以 $t\leq5$。
第一次服药时间为早上 $6:00$，$6 + 5 = 11$，所以第二次服药最迟应当在当天上午 $11$ 时。