《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 9 化简：
(1)$\frac {\sqrt {1+2\sin 10^{\circ }\cos 10^{\circ }}}{\cos 10^{\circ }+\sqrt {1-\cos ^{2}10^{\circ }}}$；
(2)$\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}(180^{\circ }＜\alpha ＜270^{\circ })$。

答案： 【解析】：
(1)原式：$\frac{\sqrt{1 + 2\sin 10^{\circ}\cos 10^{\circ}}}{\cos 10^{\circ} + \sqrt{1 - \cos^{2}10^{\circ}}}$，
根据三角函数的基本恒等式 $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$，有：
$\sqrt{1 + 2\sin 10^{\circ}\cos 10^{\circ}} = \sqrt{\sin^{2}10^{\circ} + \cos^{2}10^{\circ} + 2\sin 10^{\circ}\cos 10^{\circ}}$，
这可以写成：
$\sqrt{(\cos 10^{\circ} + \sin 10^{\circ})^{2}} = |\cos 10^{\circ} + \sin 10^{\circ}|$，
由于 $\cos 10^{\circ} ＞ \sin 10^{\circ} ＞ 0$，所以绝对值可以去掉。
分母为：
$\cos 10^{\circ} + \sqrt{\sin^{2}10^{\circ}} = \cos 10^{\circ} + \sin10^{\circ}（因为\sin 10^{\circ} ＞0）$，
所以原式等于1。
(2)原式：$\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}} + \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$，
首先，利用三角函数的基本恒等式，将分母 $1 - \cos^{2}\alpha$ 替换为 $\sin^{2}\alpha$：
$\sqrt{\frac{(1 + \cos\alpha)^{2}}{\sin^{2}\alpha}} + \sqrt{\frac{(1 - \cos\alpha)^{2}}{\sin^{2}\alpha}}$，
这可以简化为：
$\frac{1 + \cos\alpha}{|\sin\alpha|} + \frac{1 - \cos\alpha}{|\sin\alpha|}$，
由于 $180^{\circ} ＜ \alpha ＜ 270^{\circ}$，在这个区间内，$\sin\alpha ＜ 0$，所以绝对值取负，得到：
$-\frac{2}{\sin\alpha}$。
【答案】：
(1)答案：1
(2)答案：$-\frac{2}{\sin\alpha }$

例 10 证明：$\frac {1-2\sin x\cos x}{\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}=\frac {1-\tan x}{1+\tan x}$。

答案： 原式成立。