《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 2 直线过定点问题
例 2 已知直线 $ kx - y + 1 = 3k $，当 $ k $ 变动时，所有直线恒过的定点坐标为(C)

A.$ (0,0) $
B.$ (0,1) $
C.$ (3,1) $
D.$ (2,1) $

答案： C

例 3 (1)若 $ a $ 为实数，则“$ a = 1 $”是“直线 $ l_1:ax + y + 2 = 0 $ 与直线 $ l_2:x + ay - 3 - a = 0 $ 平行”的(C)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
(2)设直线 $ l $ 经过点 $ P_0(x_0,y_0) $，$ \vec{v} = (m,n) $ 是它的一个方向向量，$ P(x,y) $ 是直线 $ l $ 上任意一点，则向量 $ \overrightarrow{P_0P} $ 与 $ \vec{v} $ 共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数 $ t $，使 $ \overrightarrow{P_0P} = t\vec{v} $，即 $ (x - x_0,y - y_0) = t(m,n) $，所以 $ \begin{cases} x = x_0 + mt, \\ y = y_0 + nt. \end{cases} $ 我们把上式称为直线的参数方程。请判断直线 $ \begin{cases} x = 1 + t, \\ y = -1 + 2t \end{cases} $ 与 $ \begin{cases} x = -1 - 2t, \\ y = 1 + t \end{cases} $(其中 $ t $ 为参数)的位置关系为垂直。

答案：
(1)
若两直线平行，对于直线$l_1:ax + y + 2 = 0$与直线$l_2:x + ay - 3 - a = 0$，
有$a× a-1×1 = 0$，即$a^{2}-1 = 0$，
解得$a = 1$或$a = - 1$。
当$a = 1$时，$l_1:x + y + 2 = 0$，$l_2:x + y - 4 = 0$，$l_1// l_2$；
当$a = - 1$时，$l_1:-x + y + 2 = 0$即$x - y - 2 = 0$，$l_2:x - y - 2 = 0$，两直线重合，不符合平行条件。
所以“$a = 1$”是“直线$l_1:ax + y + 2 = 0$与直线$l_2:x + ay - 3 - a = 0$平行”的充要条件，答案选C。
(2)
两直线的方向向量分别为$(1,2)$，$(-2,1)$。
因为$1×(-2)+2×1 = 0$，所以两直线的方向向量垂直，即两直线垂直。