《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例3 若 $ P(-2,1) $ 为圆 $ x^{2} + 2x + y^{2} = 10 $ 的弦 $ AB $ 的中点，则直线 $ AB $ 的方程是(C)

A.$ x - y - 3 = 0 $
B.$ x + y + 3 = 0 $
C.$ x - y + 3 = 0 $
D.$ x + y - 3 = 0 $

答案： C

例4 (1) 过点 $ (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) $ 作圆 $ C:x^{2} + y^{2} = 1 $ 的切线 $ l $，则切线 $ l $ 的方程为$x - \sqrt{3}y - 2 = 0$。
(2) 已知点 $ P(2,4) $，圆 $ O:x^{2} + y^{2} = 4 $，则过点 $ P $ 与圆 $ O $ 相切的直线有2条，切线方程为$x = 2$或$3x - 4y + 10 = 0$。

答案：
(1)
点$\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$在圆$x^{2}+y^{2}=1$上，
圆心$O(0,0)$与该点连线的斜率为$k_{OP}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}-0}{\frac{1}{2}-0}=-\sqrt{3}$。
因为圆的切线与过切点的半径垂直，所以切线斜率$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
由点斜式可得切线方程为$y+\frac{\\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - \frac{1}{2})$，
整理得$x-\sqrt{3}y - 2=0$。
故答案为$x - \sqrt{3}y - 2 = 0$。
(2)
因为$2^{2}+4^{2}=20\gt4$，所以点$P(2,4)$在圆$x^{2}+y^{2}=4$外，过点$P$与圆$O$相切的直线有$2$条。
当切线斜率不存在时，切线方程为$x = 2$，圆心$O(0,0)$到$x = 2$的距离为$2$，等于半径，所以$x = 2$是圆的切线。
当切线斜率存在时，设切线方程为$y - 4 = k(x - 2)$，即$kx - y - 2k + 4 = 0$。
由圆心到切线的距离等于半径可得$\frac{\vert - 2k + 4\vert}{\sqrt{k^{2}+1}} = 2$，
即$\vert - 2k + 4\vert=2\sqrt{k^{2}+1}$，
两边平方得$4k^{2}-16k + 16 = 4k^{2}+4$，
$-16k=-12$，
解得$k=\frac{3}{4}$。
此时切线方程为$y - 4=\frac{3}{4}(x - 2)$，整理得$3x - 4y + 10 = 0$。
综上，切线方程为$x = 2$或$3x - 4y + 10 = 0$。
故答案为$2$；$x = 2$或$3x - 4y + 10 = 0$。