《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 2 分层随机抽样的方案设计
例 3 某校九年级有 $ 400 $ 名学生，其中男生有 $ 220 $ 人。为了了解学生的体质状况，学校随机抽查了 $ 20 $ 名学生，对他们的体能进行测试，其中这 $ 20 $ 名学生 $ 1 min $ 仰卧起坐的测试成绩（单位：个）如下：

应如何抽样才能客观反映九年级学生整体的体能情况？请写出具体的抽样步骤。

答案： 由于男生与女生体能有差异，采用分层随机抽样，具体步骤如下：
计算抽样比：总体学生数为$400$人，样本容量为$20$人，抽样比为$k = \frac{20}{400} = \frac{1}{20}$。
确定各层抽取人数：
男生人数为$220$人，男生抽取人数为$220 × \frac{1}{20} = 11$（人）。
女生人数为$400 - 220 = 180$人，女生抽取人数为$180× \frac{1}{20} = 9$（人）。
分层抽样步骤：
分层：将$400$名学生分为男生、女生两层。
确定抽取人数：男生抽取$11$人，女生抽取$9$人。
简单随机抽样：在男生层中，使用简单随机抽样方法（如抽签法或随机数表法）抽取$11$人；在女生层中，同样使用简单随机抽样方法抽取$9$人。
组合样本：将男生层抽取的$11$人和女生层抽取的$9$人组合起来，组成最终的$20$人样本。
通过以上分层随机抽样步骤，可以客观反映九年级学生整体的体能情况。