《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 6（全国乙卷）如图，在四面体 $ ABCD $ 中，$ AD\perp CD $，$ AD = CD $，$\angle ADB = \angle BDC $，$ E $ 为 $ AC $ 的中点。
(1) 证明：平面 $ BED\perp $ 平面 $ ACD $；
(2) 设 $ AB = BD = 2 $，$\angle ACB = 60° $，点 $ F $ 在 $ BD $ 上，当 $ \triangle AFC $ 的面积最小时，求 $ CF $ 与平面 $ ABD $ 所成角的正弦值。

答案：
(1) 证明：
$\because AD = CD$，$E$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore DE\perp AC$。
$\because\angle ADB = \angle BDC$，$BD = BD$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle CBD$，$\therefore AB = BC$。
$\because E$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore BE\perp AC$。
$\because BE\cap DE = E$，$BE\subset$ 平面 $BED$，$DE\subset$ 平面 $BED$，$\therefore AC\perp$ 平面 $BED$。
又 $AC\subset$ 平面 $ACD$，$\therefore$ 平面 $BED\perp$ 平面 $ACD$。
(2)
$\because AB = BC = 2$，$\angle ACB = 60°$，$\therefore\triangle ABC$ 为等边三角形，$\therefore AC = 2$，$BE = \sqrt{3}$，$AE = 1$。
$\because AD = CD$，$AD\perp CD$，$\therefore\triangle ADC$ 为等腰直角三角形，$\therefore DE = 1$，$\therefore DE^2 + BE^2 = BD^2$，$\therefore DE\perp BE$。
由
(1)可知，$AC\perp$ 平面 $BED$。
连接 $EF$，$\because EF\subset$ 平面 $BED$，$\therefore AC\perp EF$。
当 $\triangle AFC$ 的面积最小时，点 $F$ 到直线 $AC$ 的距离最小，即 $EF$ 的长度最小。
在 $\mathrm{Rt}\triangle BED$ 中，当 $EF$ 的长度最小时，$EF\perp BD$，$\therefore EF = \frac{DE · BE}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore DF = \frac{1}{2}$，$FB = \frac{3}{2}$，$\therefore 3DF = FB$。
又 $DE\perp AC$，$BE\perp AC$，$\therefore EA, EB, ED$ 两两垂直。
以 $E$ 为坐标原点，$EA, EB, ED$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系 $Exyz$，则 $A(1, 0, 0)$，$B(0, \sqrt{3}, 0)$，$D(0, 0, 1)$，$C(-1, 0, 0)$，
$\therefore \overrightarrow{AB} = (-1, \sqrt{3}, 0)$，$\overrightarrow{DB} = (0, \sqrt{3}, -1)$。
设 $F(0, y, z)$，则 $\overrightarrow{DF} = (0, y, z - 1)$，$\overrightarrow{FB} = (0, \sqrt{3} - y, -z)$，
$\therefore 3(0, y, z - 1) = (0, \sqrt{3} - y, -z)$，
解得 $y = \frac{\sqrt{3}}{4}$，$z = \frac{3}{4}$，
即 $F\left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}\right)$，
$\therefore \overrightarrow{CF} = \left(1, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}\right)$。
设平面 $ABD$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n} = (x_1, y_1, z_1)$，
则 $\begin{cases} \boldsymbol{n} · \overrightarrow{AB} = -x_1 + \sqrt{3}y_1 = 0, \\ \boldsymbol{n} · \overrightarrow{DB} = \sqrt{3}y_1 - z_1 = 0. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x_1 = \sqrt{3}y_1, \\ z_1 = \sqrt{3}y_1. \end{cases}$
取 $y_1 = 1$，则 $x_1 = \sqrt{3}$，$z_1 = \sqrt{3}$，$\therefore \boldsymbol{n} = (\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$。
记 $CF$ 与平面 $ABD$ 所成的角为 $\alpha$，
则 $\sin \alpha = |\cos \langle \overrightarrow{CF}, \boldsymbol{n} \rangle | = \frac{|\overrightarrow{CF} · \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{CF}| |\boldsymbol{n}|} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$，
$\therefore CF$ 与平面 $ABD$ 所成角的正弦值为 $\frac{4\sqrt{3}}{7}$。