《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. （1）已知点P是线段AB的黄金分割点，$PA＞PB$，$AB = 4cm$，则$PA =$$(2\sqrt{5} - 2)$cm。
（2）若点C为线段AB的黄金分割点，$AB = 8$，则AC的长是（D）
A. $4\sqrt {5}-4$
B. $9 - 3\sqrt {5}$
C. $3\sqrt {5}-3$或$9 - 3\sqrt {5}$
D. $4\sqrt {5}-4$或$12 - 4\sqrt {5}$

答案：
(1) $(2\sqrt{5} - 2)$
(2) D

8. （2024·深圳期中）宽与长的比等于$\frac {\sqrt {5}-1}{2}$（约等于0.618）的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如图所示的建筑也采用了黄金矩形的设计，若它的长约为30m，则它的宽约为（B）

A. $12.36m$
B. $18.54m$
C. $21.21m$
D. $48.54m$

答案： B

9. （2024·宝安区校级期中）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比$=\frac {\sqrt {5}-1}{2}\approx 0.618$）。如图，B为AC的黄金分割点$(AB＞BC)$，AC的长为5cm，则AB的长约为（C）


A. $1.9cm$
B. $2.5cm$
C. $3.1cm$
D. $3.3cm$

答案： C

10. （2024·深圳校级开学）黄金分割在日常生活中处处可见，例如主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好。若舞台长20m，主持人从舞台一侧进入，设他至少走xm时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（A）
A. $(20 - x)^{2}=20x$
B. $x^{2}=20(20 - x)$
C. $x(20 - x)=20^{2}$
D. 以上都不对

答案： A

11. （BS九上P96改编）宽与长之比为$\frac {\sqrt {5}-1}{2}:1$的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感。如图，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论。

解：留下的矩形$CDFE$是黄金矩形。证明如下：
$\because$四边形$ABEF$是正方形，
$\therefore AB = DC = AF$。
又$\because \frac{AB}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
$\therefore \frac{AF}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
即点$F$是线段$AD$的黄金分割点。
$\therefore \frac{FD}{AF} = \frac{AF}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
即$\frac{FD}{DC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
$\therefore$矩形$CDFE$是黄金矩形。

答案： 解：留下的矩形$CDFE$是黄金矩形。证明如下：
$\because$四边形$ABEF$是正方形，
$\therefore AB = DC = AF$。
又$\because \frac{AB}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
$\therefore \frac{AF}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
即点$F$是线段$AD$的黄金分割点。
$\therefore \frac{FD}{AF} = \frac{AF}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
即$\frac{FD}{DC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
$\therefore$矩形$CDFE$是黄金矩形。

12. 如图，以长为2cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使$PF = PD$，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上。
（1）试求AM，DM的长；AM=$\sqrt{5}-1$cm，DM=$3-\sqrt{5}$cm
（2）M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由。
是，理由如下：$\because AM^{2}=(\sqrt{5}-1)^{2}=6-2\sqrt{5}$，$AD\cdot DM=2×(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$，$\therefore AM^{2}=AD\cdot DM$，$\therefore M$是线段$AD$的黄金分割点。

答案： 解：
(1) 在$Rt\triangle APD$中，
$AP = 1\mathrm{cm}$，$AD = 2\mathrm{cm}$，
由勾股定理，得
$PD = \sqrt{AD^{2} + AP^{2}}$
$= \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
$\therefore AM = AF = PF - AP$
$= PD - AP$
$= (\sqrt{5} - 1)(\mathrm{cm})$，
$DM = AD - AM$
$= (3 - \sqrt{5})\mathrm{cm}$。
(2) $\because AM^{2} = (\sqrt{5} - 1)^{2}$
$= 6 - 2\sqrt{5}$，
$AD \cdot DM = 2 \times (3 - \sqrt{5})$
$= 6 - 2\sqrt{5}$，
$\therefore AM^{2} = AD \cdot DM$。
$\therefore M$是线段$AD$的黄金分割点。