《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

5. 如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动.
(1)P，Q两点出发2s后，△PBQ的面积是多少？8cm²
(2)设P，Q两点同时出发移动的时间为t s，求△PBQ面积的最大值.9cm²

答案： 解:
(1)
∵ $ P $, $ Q $ 移动 $ t $ s 时,
$ AP = t $ cm, $ BQ = 2t $ cm,
则 $ PB = AB - AP = (6 - t) $ cm.
∴ $ S_{\triangle PBQ} = \frac{1}{2}BP \cdot BQ $
$ = \frac{1}{2}(6 - t) \cdot 2t $
$ = t(6 - t)(cm^{2}) $.
∴ $ P $, $ Q $ 两点出发 2 s 后,
$ S_{\triangle PBQ} = 2 \times (6 - 2) $
$ = 8(cm^{2}) $.
故 $ P $, $ Q $ 两点出发 2 s 后, $ \triangle PBQ $ 的面积是 $ 8cm^{2} $.
(2)
∵ $ S_{\triangle PBQ} = -t^{2} + 6t $
$ = -(t - 3)^{2} + 9 $,
∴ 在移动过程中, $ \triangle PBQ $ 面积的最大值是 $ 9cm^{2} $.

6. (2024·坪山区一模)飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼. 某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，平均每天的销售量y(个)与销售单价x(元)的关系可以近似地看作一次函数，几组对应值如表所示：
| x | 18 | 20 | 22 | 24 |
| y | 70 | 60 | 50 | 40 |
(1)求出y与x之间的函数关系式.
(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w(元)，求w与x之间的函数关系式. 当x取何值时，利润达到最大？最大利润是多少？

答案： 解:
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = kx + b(k \neq 0) $.
依题意, 得 $ \begin{cases} 18k + b = 70, \\ 20k + b = 60, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} k = -5, \\ b = 160. \end{cases} $
∴ $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = -5x + 160 $.
(2) 依题意, 得
$ w = (x - 16)(-5x + 160) $
$ = -5x^{2} + 240x - 2560 $
$ = -5(x - 24)^{2} + 320 $.
∵ $ -5 ＜ 0 $,
∴ 当 $ x = 24 $ 时, $ w $ 有最大值 320.
答: $ w $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ w = -5x^{2} + 240x - 2560 $; 当 $ x = 24 $ 时, 利润达到最大, 最大利润是 320 元.

7. 【教材改编】(RJ九上P52)某宾馆有50个房间供游客住宿. 若每个房间每天的定价为180元，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲. 另外宾馆需对每个居住房间每天支出20元费用. 房价定为350元时，宾馆获得的利润最大，为10890元.

答案： 350 10 890