《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (BS 九上 P47、P48)解下列方程:
(1)$5x^{2}=4x;$
解：$5x^{2}-4x=0$。
$x(5x - 4) = 0$。
$\therefore x = 0$，或$5x - 4 = 0$。
$\therefore x_{1} = 0$，$x_{2} = $$\frac{4}{5}$。
(2)$(x-2)(x-3)=12;$
解：方程化为
$x^{2}-5x - 6 = 0$。
$(x + 1)(x - 6) = 0$。
$\therefore x + 1 = 0$，或$x - 6 = 0$。
$\therefore x_{1} = $$-1$，$x_{2} = $$6$。
(3)$(x-2)^{2}=(2x+3)^{2};$
解：$(x - 2)^{2}-(2x + 3)^{2} = 0$。
$(x - 2 + 2x + 3)(x - 2 - 2x - 3) = 0$。
$(3x + 1)(-x - 5) = 0$。
$\therefore 3x + 1 = 0$，或$-x - 5 = 0$。
$\therefore x_{1} = $$-\frac{1}{3}$，$x_{2} = $$-5$。
(4)$2y^{2}+4y=y+2.$
解：$2y(y + 2)-(y + 2) = 0$。
$(2y - 1)(y + 2) = 0$。
$\therefore 2y - 1 = 0$，或$y + 2 = 0$。
$\therefore y_{1} = $$\frac{1}{2}$，$y_{2} = $$-2$。

答案：
(1) 解：$5x^{2}-4x=0$。
$x(5x - 4) = 0$。
$\therefore x = 0$，或$5x - 4 = 0$。
$\therefore x_{1} = 0$，$x_{2} = \frac{4}{5}$。
(2) 解：方程化为
$x^{2}-5x - 6 = 0$。
$(x + 1)(x - 6) = 0$。
$\therefore x + 1 = 0$，或$x - 6 = 0$。
$\therefore x_{1} = -1$，$x_{2} = 6$。
(3) 解：$(x - 2)^{2}-(2x + 3)^{2} = 0$。
$(x - 2 + 2x + 3)(x - 2 - 2x - 3) = 0$。
$(3x + 1)(-x - 5) = 0$。
$\therefore 3x + 1 = 0$，或$-x - 5 = 0$。
$\therefore x_{1} = -\frac{1}{3}$，$x_{2} = -5$。
(4) 解：$2y(y + 2)-(y + 2) = 0$。
$(2y - 1)(y + 2) = 0$。
$\therefore 2y - 1 = 0$，或$y + 2 = 0$。
$\therefore y_{1} = \frac{1}{2}$，$y_{2} = -2$。

2. (BS 九上 P50 改编)不解方程,判断下列方程的根的情况.若方程有实根,求$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值.
(1)$2x^{2}-3x+1=0;$
解：$\because a = 2$，$b = -3$，$c = 1$，
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac$
$= (-3)^{2}-4×2×1$
$= 1 ＞ 0$。
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
$\therefore x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} =$$\frac{3}{2}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} =$$\frac{1}{2}$。
(2)$5x^{2}+x=7;$
解：方程化为
$5x^{2}+x - 7 = 0$。
$\therefore a = 5$，$b = 1$，$c = -7$。
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac$
$= 1^{2}-4×5×(-7)$
$= 141 ＞ 0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
$\therefore x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} =$$-\frac{1}{5}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} =$$-\frac{7}{5}$。
(3)$x(x+1)+1=0.$
解：方程化为$x^{2}+x + 1 = 0$。
$\therefore a = 1$，$b = 1$，$c = 1$。
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac$
$= 1^{2}-4×1×1$
$= -3 ＜ 0$。
$\therefore$ 方程无实数根。

答案：
(1) 解：$\because a = 2$，$b = -3$，$c = 1$，
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac$
$= (-3)^{2}-4×2×1$
$= 1 ＞ 0$。
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
$\therefore x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$。
(2) 解：方程化为
$5x^{2}+x - 7 = 0$。
$\therefore a = 5$，$b = 1$，$c = -7$。
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac$
$= 1^{2}-4×5×(-7)$
$= 141 ＞ 0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
$\therefore x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{5}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{7}{5}$。
(3) 解：方程化为$x^{2}+x + 1 = 0$。
$\therefore a = 1$，$b = 1$，$c = 1$。
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac$
$= 1^{2}-4×1×1$
$= -3 ＜ 0$。
$\therefore$ 方程无实数根。

3. (BS 九上 P51)已知方程$5x^{2}+kx-6=0$的一个根是 2,求它的另一个根及k的值.

答案： 解：设它的另一根为$x_{1}$。
依题意，得$x_{1} + 2 = -\frac{k}{5}$，
$x_{1}×2 = -\frac{6}{5}$，
解得$x_{1} = -\frac{3}{5}$，$k = -7$。