《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

5. 如图,在等边三角形ABC中,D为BC上一点,∠EDF=60°,证明图中一对相似三角形.

答案： 解：$\triangle EBD \backsim \triangle DCF$。
证明如下：
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠B = ∠C = 60^{\circ}$。
$\therefore ∠2 = 60^{\circ} + ∠1 - ∠B = ∠1$。
$\therefore \triangle EBD \backsim \triangle DCF$。

6.【原创题】如图,在矩形ABCD中,E为BC上的一点,作∠AEF=90°,EF交CD于点F,指出图中一对相似三角形并证明.


$\triangle ABE \backsim \triangle ECF$
证明如下：
$\because ∠B = ∠C$，
$∠BAE + ∠AEB$
$= ∠CEF + ∠AEB = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠BAE = ∠CEF$。
$\therefore \triangle ABE \backsim \triangle ECF$。

答案： 解：$\triangle ABE \backsim \triangle ECF$。
证明如下：
$\because ∠B = ∠C$，
$∠BAE + ∠AEB$
$= ∠CEF + ∠AEB = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠BAE = ∠CEF$。
$\therefore \triangle ABE \backsim \triangle ECF$。

7. 如图,根据条件证明两个三角形相似.

答案： 证明：$\because ∠C = 180^{\circ} - ∠A - ∠B = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 60^{\circ} = 50^{\circ}$，
$\therefore ∠C = ∠E$。
又$\because ∠A = ∠D$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle DFE$。

8. (2024·光明区月考)如图,∠B=∠D,∠1=∠2. 求证:△ABC∽△ADE.


证明：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC，
即∠BAC = ∠DAE。
又∵∠B = ∠D，
∴△ABC ∽△ADE。

答案： 证明：$\because ∠1 = ∠2$，
$\therefore ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC$，
即$∠BAC = ∠DAE$。
又$\because ∠B = ∠D$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle ADE$。

9. (2024·深圳期中)如图,在△ABC中,D为边AB上一点,且∠DCB=∠A.
(1)求证:△CBD∽△ABC;
证明：$\because ∠DCB = ∠A$，
$∠CBD = ∠ABC$，
$\therefore \triangle CBD \backsim \triangle ABC$。
(2)若AD=5,DB=4,求BC的长.
解：$\because \triangle CBD \backsim \triangle ABC$，
$AD = 5, DB = 4$，
$\therefore \frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BC}$，
$AB = AD + DB = 9$。
$\therefore \frac{BC}{9} = \frac{4}{BC}$，
解得$BC = $6(负值已舍去)。

答案：
(1) 证明：$\because ∠DCB = ∠A$，
$∠CBD = ∠ABC$，
$\therefore \triangle CBD \backsim \triangle ABC$。
(2) 解：$\because \triangle CBD \backsim \triangle ABC$，
$AD = 5, DB = 4$，
$\therefore \frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BC}$，
$AB = AD + DB = 9$。
$\therefore \frac{BC}{9} = \frac{4}{BC}$，
解得$BC = 6$(负值已舍去)。

10. 如图,在△PAB中,点C,D在AB上,PC=PD=CD,∠A=∠BPD. 求证:
(1)△APC∽△PBD;
(2)CD²=AC·BD.
(1)证明：∵PC = PD，
∴∠PCD = ∠PDC。
∵∠A + ∠APC = ∠PCD，
∠B + ∠BPD = ∠PDC，
又∵∠A = ∠BPD，
∴∠APC = ∠B。
∴△APC ∽ △PBD。
(2)证明：∵△APC ∽ △PBD，
∴AC/PD = PC/BD。
∴PC·PD = AC·BD。
∵PC = PD = CD，
∴CD² = AC·BD。

答案： 证明：
(1)$\because PC = PD$，
$\therefore ∠PCD = ∠PDC$。
$\because ∠A + ∠APC = ∠PCD$，
$∠B + ∠BPD = ∠PDC$，
又$\because ∠A = ∠BPD$，
$\therefore ∠APC = ∠B$。
$\therefore \triangle APC \backsim \triangle PBD$。
(2)$\because \triangle APC \backsim \triangle PBD$，
$\therefore \frac{AC}{PD} = \frac{PC}{BD}$。
$\therefore PC \cdot PD = AC \cdot BD$。
$\because PC = PD = CD$，
$\therefore CD^{2} = AC \cdot BD$。