《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

3. (2024·东莞校级模拟)我们在物理学科中学过:光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1),我们把$n=\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }$称为折射率(其中$\alpha$代表入射角,$\beta$代表折射角).为了观察光线的折射现象,设计了如图2所示的实验,利用激光笔$MN$发射一束红光,容器中不装水时,光斑恰好落在$B$处,加水至$EF$处,光斑左移至$C$处,图3是实验的示意图,其中四边形$ABFE$为矩形,$MN$为法线.
(1)若入射角$\alpha =30^{\circ }$,则$∠DBF=$______$^{\circ }$;
(2)现在测得$BF=6\ \mathrm{dm},DF=8\ \mathrm{dm}$. (参考数据:$\sin 53^{\circ }\approx \frac {4}{5},\cos 53^{\circ }\approx \frac {3}{5},\tan 53^{\circ }\approx \frac {4}{3}$)
①求入射角$\alpha$的度数;
②如果光线从空气射入水中的折射率$n=\frac {4}{3}$,求光斑移动的距离$BC$.

答案：
解:
(1) 30
(2) ① 由
(1) 可得 $ \angle DBF = \alpha $,
在 $ \text{Rt} \triangle DFB $ 中,
$ \tan \angle DBF = \frac{DF}{BF} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $
$ \therefore \angle DBF \approx 53^{\circ} $
$ \therefore \alpha \approx 53^{\circ} $
② 如图 3, 设法线 MN 交 AB 于点 H.
$ \because n = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{4}{3} $
$ \sin \alpha = \sin \angle DBF = \frac{4}{5} $
$ \therefore \sin \beta = \sin \angle CDH = \frac{CH}{CD} = \frac{3}{5} $
设 $ CH = 3x $, $ CD = 5x $,
则 $ DH = 4x $.
$ \because DH = BF = 6 \, \text{dm} $
$ \therefore 4x = 6 $, 解得 $ x = \frac{3}{2} $.
$ \therefore CH = 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \, \text{(dm)} $
$ \therefore BC = DF - CH = 8 - \frac{9}{2} $
$ = \frac{7}{2} \, \text{(dm)} $
答: 光斑移动的距离是 $ \frac{7}{2} \, \text{dm} $.