《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

9.如图，一条输电线路从$A$地到$B$地需要经过$C$地，图中$AC = 20$千米，$\angle CAB = 30^{\circ}$，$\angle CBA = 45^{\circ}$.因线路整改需要，将从$A$地到$B$地之间铺设一条笔直的输电线路.
（1）求新铺设的输电线路$AB$的长度.
（2）问整改后从$A$地到$B$地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）

答案：
解:
(1) 如图,过点 C 作 CD⊥AB,交 AB 于点 D,
在 Rt△ACD 中,
$CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×20$
$=10$(千米),
$AD = AC\cdot\cos30^{\circ} = 20×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=10\sqrt{3}$(千米).
又
∵ ∠CBD = 45°,
∴ BD = CD = 10 千米.
∴ AB = AD + DB
$=10\sqrt{3}+10$(千米).
(2)
∵ $BC = \frac{BD}{\cos45^{\circ}}$
$=10\sqrt{2}$(千米),
∴ AC + BC - AB
$=20 + 10\sqrt{2} - (10\sqrt{3} + 10)$
$=(10 + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{3})$(千米).
答:整改后,输电线路比原来缩短了$(10 + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{3})$千米.

10.（2024·佛山一模）“醒狮”是岭南文化名城佛山的一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”，舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”.如图，舞狮者站在梅花桩$AB$上，$AB$与“生菜”放置点$D$的水平距离$BC$为$1.1m$，$\angle D = 53^{\circ}$.已知该舞狮者的采摘距离为$1.43m$，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由.（参考数据：$\sin 53^{\circ} \approx 0.8$，$\cos 53^{\circ} \approx 0.6$，$\tan 53^{\circ} \approx 1.3$）

答案：
解:该舞狮者能“采青”成功. 理由如下:
如图,过点 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,

依题意,得 AE = BC = 1.1 m,
在 Rt△AED 中,∠D = 53°,
∴ $AD = \frac{AE}{\sin53^{\circ}} \approx \frac{1.1}{0.8}$
$=1.375$(m).
∵ 1.375 ＜ 1.43,
∴ 该舞狮者能“采青”成功.

11.（2024·梅县区一模）如图所示，某幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由$45^{\circ}$降为$30^{\circ}$，已知原滑板$AB$的长为4米，点$D$，$B$，$C$在同一水平地面上.
（1）求改善后滑板$AD$的长为多少米.
（2）若滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有6m长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由.（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{6} \approx 2.449$，以上结果均保留到小数点后两位）

答案： 解:
(1) 在 Rt△ABC 中,
$AC = AB\cdot\sin45^{\circ}$
$=4\times\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$(m),
在 Rt△ADC 中,∠ADC = 30°,
AD = 2AC = $4\sqrt{2} \approx 5.66$(m).
答:改善后滑板 AD 的长约为 5.66 m.
(2) 这样改造可行. 理由如下:
在 Rt△ADC 中,
$CD = \frac{AC}{\tan30^{\circ}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{6}$
≈4.898(m),
∵ ∠ABC = 45°,
∴ BC = AC = $2\sqrt{2}$ m.
∴ BD = CD - BC
$=2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$
≈4.898 - 2.828
=2.07(m).
∵ 6 - 2.07 = 3.93 ＞ 3,
∴ 这样改造可行.

12.如图，在岷江的右岸边有一座高楼$AB$，左岸边有一坡度$i = 1:2$的山坡$CF$，点$C$与点$B$在同一水平面上，$CF$与$AB$在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼$AB$的高度，在坡底$C$处测得楼顶$A$的仰角为$45^{\circ}$，然后沿坡面$CF$上行走了$20\sqrt{5}m$到达点$D$处，此时在点$D$处测得楼顶$A$的仰角为$30^{\circ}$，求楼$AB$的高度.

答案：
解:在 Rt△DEC 中,
∵ $i = \frac{DE}{EC} = \frac{1}{2}$,
$DE^{2} + EC^{2} = CD^{2}$,
CD = $20\sqrt{5}$ m,
∴ $DE^{2} + (2DE)^{2} = (20\sqrt{5})^{2}$,
解得 DE = 20 m.
∴ EC = 40 m.
如图,过点 D 作 DG⊥AB 于点 G,
过点 C 作 CH⊥DG 于点 H,
则四边形 DEBG,四边形 DECH,四边形 BCHG 都是矩形.
∵ ∠ACB = 45°,AB⊥BC,
∴ AB = BC.
设 AB = BC = x m,
则 AG = (x - 20)m,
DG = (x + 40)m.
在 Rt△ADG 中,
∵ $\frac{AG}{DG} = \tan∠ADG$,
∴ $\frac{x - 20}{x + 40} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,
解得 $x = 50 + 30\sqrt{3}$.
答:楼 AB 的高度为$(50 + 30\sqrt{3})$m.