《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. 【易错题】将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形是（D）

A. 矩形
B. 三角形
C. 梯形
D. 菱形

答案： D

8. 如图，在边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$ 中，$M$ 为边 $AD$ 的中点，延长 $MD$ 至点 $E$，使 $ME = MC$，以 $DE$ 为边作正方形 $DEFG$，点 $G$ 在边 $CD$ 上，则 $CG =$ ______3 - $\sqrt{5}$。

答案： 3 - $\sqrt{5}$

9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AE \perp BD$ 于点 $E$，$DE = 3BE$。
（1）求证：$\triangle AOB$ 为等边三角形；
（2）若 $BC = 8$，求 $AE$ 的长。
（1）证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AC = BD$，$OA = OC$，
$OB = OD$。
$\therefore OA = OB$。
∵ $DE = 3BE$，
$\therefore DE + BE = 3BE + BE$。
$\therefore BE=\frac{1}{4}BD$。$\therefore BE=\frac{1}{2}OB$。
∵ $AE\perp BD$，$\therefore AB = AO$。
$\therefore \triangle AOB$ 为等边三角形。
（2）解：由(1)知 $\triangle AOB$ 是等边三角形，
$\therefore AC = 2AB$。
$\therefore BC^{2}=(2AB)^{2}-AB^{2}$。
∵ $BC = 8$，$\therefore AB=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
$\therefore AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=$4。

答案：
(1)证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AC = BD$，$OA = OC$，
$OB = OD$。
$\therefore OA = OB$。
∵ $DE = 3BE$，
$\therefore DE + BE = 3BE + BE$。
$\therefore BE=\frac{1}{4}BD$。$\therefore BE=\frac{1}{2}OB$。
∵ $AE\perp BD$，$\therefore AB = AO$。
$\therefore \triangle AOB$ 为等边三角形。
(2)解：由
(1)知 $\triangle AOB$ 是等边三角形，
$\therefore AC = 2AB$。
$\therefore BC^{2}=(2AB)^{2}-AB^{2}$。
∵ $BC = 8$，$\therefore AB=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
$\therefore AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{16}$
$=4$。

10. 如图，已知矩形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $O$，$\angle ACB = 30^{\circ}$，$AB = 2$。
（1）求 $AC$ 的长；4
（2）求 $\angle AOB$ 的度数；60°
（3）以 $OB$，$OC$ 为邻边作菱形 $OBEC$，求菱形 $OBEC$ 的面积。$2\sqrt{3}$

答案： 解：
(1)
∵ 在矩形 $ABCD$ 中，
$\angle ABC = 90^{\circ}$，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，
$\angle ACB = 30^{\circ}$，$AB = 2$，
$\therefore AC = 2AB = 4$。
(2)在矩形 $ABCD$ 中，
$AO = OB = 2$。
又
∵ $AB = 2$，
$\therefore \triangle AOB$ 是等边三角形。
$\therefore \angle AOB = 60^{\circ}$。
(3)由勾股定理，得
$BC=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$，
∵ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\sqrt{3}$，
$\therefore$ 菱形 $OBEC$ 的面积是
$2S_{\triangle BOC}=2\sqrt{3}$。

11. 【核心素养】如图，$G$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $CA$ 延长线上的任意一点，以 $AG$ 为边作一个正方形 $AEFG$，连接 $EB$，$GD$，$EB$ 和 $GD$ 相交于点 $H$，$GD$ 和 $AE$ 相交于点 $M$。
（1）求证：$\triangle EAB \cong \triangle GAD$；
（2）求证：$BE \perp DG$；
（3）若 $AB = 3\sqrt{2}$，$AG = 3$，求 $EB$ 的长。
（1）证明：∵ 四边形 $ABCD$，$AGFE$是正方形，
$\therefore AB = AD$，$AE = AG$，
$\angle DAB=\angle EAG$。
$\therefore \angle EAB=\angle GAD$。
在 $\triangle EAB$ 和 $\triangle GAD$ 中，
$\begin{cases}AE = AG,\\\angle EAB=\angle GAD,\\AB = AD,\end{cases}$
$\therefore \triangle EAB\cong\triangle GAD$SAS。
（2）证明：由(1)得
$\triangle EAB\cong\triangle GAD$，
$\therefore \angle AEB=\angle AGD$。
∵ $\angle EMH=\angle AMG$，
$\therefore \angle EHG=\angle EAG = 90^{\circ}$。
$\therefore BE\perp DG$。
（3）解：∵ $\triangle EAB\cong\triangle GAD$，
$\therefore EB = GD$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$AB = 3\sqrt{2}$，
$\therefore BD\perp AC$，
$AC = BD=\sqrt{2}AB = 6$。
$\therefore \angle DOG = 90^{\circ}$，
$OA = OD=\frac{1}{2}BD = 3$。
∵ $AG = 3$，
$\therefore OG = OA + AG = 6$。
$\therefore GD=\sqrt{OD^{2}+OG^{2}}=3\sqrt{5}$。
$\therefore EB =$$3\sqrt{5}$。

答案：
(1)证明：
∵ 四边形 $ABCD$，$AGFE$
是正方形，
$\therefore AB = AD$，$AE = AG$，
$\angle DAB=\angle EAG$。
$\therefore \angle EAB=\angle GAD$。
在 $\triangle EAB$ 和 $\triangle GAD$ 中，
$\begin{cases}AE = AG,\\\angle EAB=\angle GAD,\\AB = AD,\end{cases}$
$\therefore \triangle EAB\cong\triangle GAD(SAS)$。
(2)证明：由
(1)得
$\triangle EAB\cong\triangle GAD$，
$\therefore \angle AEB=\angle AGD$。
∵ $\angle EMH=\angle AMG$，
$\therefore \angle EHG=\angle EAG = 90^{\circ}$。
$\therefore BE\perp DG$。
(3)解：
∵ $\triangle EAB\cong\triangle GAD$，
$\therefore EB = GD$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$AB = 3\sqrt{2}$，
$\therefore BD\perp AC$，
$AC = BD=\sqrt{2}AB = 6$。
$\therefore \angle DOG = 90^{\circ}$，
$OA = OD=\frac{1}{2}BD = 3$。
∵ $AG = 3$，
$\therefore OG = OA + AG = 6$。
$\therefore GD=\sqrt{OD^{2}+OG^{2}}=3\sqrt{5}$。
$\therefore EB = 3\sqrt{5}$。