《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

11. 例 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx - 1 = 0$，求证：无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。

答案： 证明：$a=1,b=m,c=-1.$
$\because\Delta=b^{2}-4ac$
$=m^{2}-4×1×(-1)$
$=m^{2}+4,$
$\because m^{2}≥0,\therefore\Delta=m^{2}+4＞0.$
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.

12. (RJ 九上 P17 改编)已知关于$x$的一元二次方程$(x - 3)(x - 2)-m^{2}=0$，求证：无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。(提示：先化为一般形式，$c = 6 - m^{2}$)
证明：原方程化为一般式为$x^{2}-5x+6-m^{2}=0.$
$\Delta=(-5)^{2}-4×1×(6-m^{2})$
$=25-24+4m^{2}$
$=1+4m^{2}.$
$\because m^{2}≥0,$
$\therefore\Delta=1+4m^{2}＞0,$
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.

答案： 证明：原方程化为一般式为
$x^{2}-5x+6-m^{2}=0.$
$\Delta=(-5)^{2}-4×1×(6-m^{2})$
$=25-24+4m^{2}$
$=1+4m^{2}.$
$\because m^{2}≥0,$
$\therefore\Delta=1+4m^{2}＞0,$
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.

13. (2024·深圳校级期中)若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+x - 1 = 0$有实数根，则$a$的取值范围是(C)
A. $a＞-\frac{1}{4}$
B. $a\geqslant-\frac{1}{4}$
C. $a\geqslant-\frac{1}{4}$且$a≠0$
D. $a＞-\frac{1}{4}$且$a≠0$

答案： C

14. 已知直线$y = x + a$不经过第四象限，那么关于$x$的方程$ax^{2}-2x - 1 = 0$的实数解的个数是(D)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 1或2

答案： D

15. 【核心素养】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m + 3)x + m + 1 = 0$。
(1)求证：无论$m$为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当方程根的判别式等于5时，求$m$的值。

答案：
(1)证明：
$\Delta=[-(m+3)]^{2}-4(m+1)$
$=m^{2}+2m+5$
$=m^{2}+2m+1-1+5$
$=(m+1)^{2}+4.$
$\because(m+1)^{2}≥0,$
$\therefore\Delta=(m+1)^{2}+4＞0.$
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)解：$\because\Delta=5,$
$\therefore(m+1)^{2}+4=5.$
$\therefore(m+1)^{2}=1.$
$\therefore m_{1}=0,m_{2}=-2.$