《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. (BS 九上 P159) 某蓄水池排水管的排水速度是 $8m^3/h$, $6h$ 可将满池水全部排空.
(1) 蓄水池的容积是多少?
(2) 如果增加排水管, 使排水速度达到 $Q(m^3/h)$, 那么将满池水排空所需的时间 $t(h)$ 将如何变化?
(3) 写出 $t$ 与 $Q$ 之间的关系式.
(4) 如果准备在 $5h$ 内将满池水排空, 那么排水速度至少为多少?
(5) 已知排水管的最大排水速度为 $12m^3/h$, 那么最少多长时间可将满池水全部排空?

答案： 解:
(1)蓄水池的容积是 $ 8 \times 6 = 48(m^3) $.
(2) $ \because Q \cdot t = 48 $, $ Q $ 与 $ t $ 成反比例关系,
$ \therefore Q $ 增大, $ t $ 将减少.
(3) $ t $ 与 $ Q $ 之间的关系式为 $ t = \frac{48}{Q} $.
(4) $ \because t = \frac{48}{Q} \leq 5 $,
解不等式得 $ Q \geq 9.6 $,
$ \therefore $ 排水速度至少为 $ 9.6 m^3/h $.
(5)令 $ Q = 12 $, 则 $ t = \frac{48}{12} = 4 $.
$ \therefore $ 最少 $ 4 h $ 可将满池水全部排空.

8. [分类讨论] (BS 九上 P157) 已知点 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ 都在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上, 且 $x_1 ＞ x_2$, 比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小.

答案： 解: $ \because $ 点 $ (x_1, y_1), (x_2, y_2) $ 都在反比例函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象上,
$ \therefore y_1 = \frac{1}{x_1}, y_2 = \frac{1}{x_2} $.
当 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $ 或 $ 0 ＞ x_1 ＞ x_2 $,
则 $ y_1 ＜ y_2 $;
当 $ x_1 ＞ 0 ＞ x_2 $, 则 $ y_1 ＞ y_2 $.

9. [数形结合] (1) (BS 九上 P169) 是否存在另一个正三角形, 它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的 2 倍?
(2) (BS 九上 P170) 是否存在另一个矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 3 倍?

答案：
(1)解:不存在. 因为正三角形的三个角都为 $ 60^\circ $, 所以所有的正三角形都相似. 如果另一个正三角形的周长是已知正三角形的 $ 2 $ 倍, 那么它们的相似比为 $ 2 $, 那么另一个正三角形的面积就是已知正三角形的 $ 4 $ 倍(相似比的平方), 所以不存在符合条件的正三角形.
(2)解:设原矩形的长为 $ a $, 宽为 $ b (a ＞ b) $, 另一矩形的长为 $ x $, 宽为 $ y $.
令 $ x + y = 3(a + b), xy = 3ab $,
对于关于 $ t $ 的方程:
$ t^2 - 3(a + b)t + 3ab = 0 $,
$ \Delta = 9(a + b)^2 - 12ab $
$ = 9a^2 + 6ab + 9b^2 $
$ = (3a + b)^2 + 8b^2 ＞ 0 $.
易得出, 该方程有两个不同实根, 且都为正根, 故存在所求的矩形.