《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 若反比例函数$y=\frac{6}{x}$与一次函数$y=mx - 4$的图象都经过点$A(a,2)$。
(1) 点$A$的坐标为$(3,2)$；
(2) 一次函数的解析式为$y = 2x - 4$。

答案：
(1) $(3,2)$
(2) $y = 2x - 4$

2. 如图，求$\triangle OAB$的面积。

解: $S_{\triangle OAB} =$$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$.

答案： 解:
(1) $S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$.
(2) $S_{\triangle OMB} = \frac{1}{2} \times | - 3 | \times | - 4 | = 6$.

3. 如图，一次函数$y = x - 1$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于点$A(n,1)$，$B(-1,m)$。
(1) 求函数$y=\frac{k}{x}$的表达式；
(2) 根据图象写出当一次函数值大于反比例函数值时$x$的取值范围；
(3) 求$\triangle ABO$的面积。

答案：
解:
(1) $\because$ 一次函数 $y = x - 1$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于点 $A(n,1)$，$B( - 1,m)$，
$\therefore m = - 1 - 1 = - 2$，$n - 1 = 1$，
解得 $n = 2$.
$\therefore B( - 1, - 2)$，$A(2,1)$.
$\therefore k = 1 × 2 = 2$. $\therefore y = \frac{2}{x}$.
(2) 由图象可知一次函数值大于反比例函数值时 $x$ 的取值范围为 $- 1 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 2$.
(3) 如图，设直线 $AB$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$，

对于 $y = x - 1$，
当 $y = 0$ 时，$x = 1$，$\therefore C(1,0)$.
$\therefore S_{\triangle AOB}$
$= S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC}$
$= \frac{1}{2} × 1 × 1 + \frac{1}{2} × 1 × 2$
$= \frac{3}{2}$.

4. (2024·深圳月考)如图，已知$A(-4,n)$，$B(2,-4)$是一次函数$y = kx + b$的图象和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点。
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
反比例函数的解析式为$y = - \frac{8}{x}$，一次函数的解析式为$y = - x - 2$。
(2) 求直线$AB$与$x$轴的交点$C$的坐标及$\triangle AOB$的面积；
点$C$的坐标为$(- 2,0)$，$\triangle AOB$的面积为$6$。
(3) 直接写出一次函数的值小于反比例函数值的$x$的取值范围。
$- 4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$

答案： 解:
(1) 依题意，得
$m = 2 \times ( - 4) = - 8$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为
$y = - \frac{8}{x}$.
把 $A( - 4,n)$ 代入 $y = - \frac{8}{x}$，
得 $n = - \frac{8}{ - 4} = 2$，
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $( - 4,2)$.
把 $A( - 4,2)$，$B(2, - 4)$ 分别代入 $y = kx + b$，
得 $\left\{ \begin{array} { l } { - 4 k + b = 2 }, \\ { 2 k + b = - 4 }, \end{array} \right.$
解得 $\left\{ \begin{array} { l } { k = - 1 }, \\ { b = - 2 }. \end{array} \right.$
$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y = - x - 2$.
(2) 令 $- x - 2 = 0$，得 $x = - 2$，
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $( - 2,0)$.
$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC}$
$= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 4$
$= 6$.
(3) 由图象可知，当 $- 4 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 2$ 时，一次函数的值小于反比例函数的值.