《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

2.(2024·龙岗区校级模拟)【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动,将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的,但将一边三等分就不是那么容易了. 近些年,经过人们的不懈努力,已经找到了多种将正方形纸片一边三等分的精确折法. 综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
操作过程及内容如下(如图 1).
操作 1:将正方形 $ ABCD $ 对折,使点 $ A $ 与点 $ D $ 重合,点 $ B $ 与点 $ C $ 重合,再将正方形 $ ABCD $ 展开,得到折痕 $ EF $;
操作 2:再将正方形纸片的右下角向上翻折,使点 $ C $ 与点 $ E $ 重合,边 $ BC $ 翻折至 $ B'E $ 的位置,得到折痕 $ MN $, $ B'E $ 与 $ AB $ 相交于点 $ P $. 则 $ P $ 为 $ AB $ 的三等分点,即 $ AP:PB = 2:1 $.
【解决问题】
(1)在图 1 中,若 $ EF $ 与 $ MN $ 相交于点 $ Q $,连接 $ CQ $,求证:四边形 $ EQCM $ 是菱形;
(2)请在图 1 中证明 $ AP:PB = 2:1 $;
【发现感悟】若 $ E $ 为正方形纸片 $ ABCD $ 的边 $ AD $ 上的任意一点,重复“问题背景”中操作 2 的折纸过程,请你思考并解答如下问题:
(3)如图 2,
①若 $ AD = 3AE $,则 $ \frac{AP}{AB} = $$\frac{4}{5}$;
②若 $ AD = nAE $,则 $ \frac{AP}{AB} = $$\frac{2n - 2}{2n - 1}$.(用含 $ n $ 的式子表示)

答案：
(1) 证明:由折叠可得
$ CM = EM $, $ \angle CMQ = \angle EMQ $,
四边形 $ CDEF $ 是矩形,
$ \therefore CD // EF $.
$ \therefore \angle CMQ = \angle EQM $.
$ \therefore \angle EQM = \angle EMQ $.
$ \therefore EM = EQ $. $ \therefore MC = EQ $.
又 $ \because MC // EQ $,
$ \therefore $ 四边形 $ EQCM $ 是平行四边形.
又 $ \because CM = EM $,
$ \therefore $ 四边形 $ EQCM $ 是菱形.
(2) 证明:设正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 1 $, $ CM = x $,则 $ EM = x $, $ DM = 1 - x $.
在 $ Rt \triangle DEM $ 中,由勾股定理,得
$ EM^{2} = ED^{2} + DM^{2} $,
即 $ x^{2} = (\frac{1}{2})^{2} + (1 - x)^{2} $,
解得 $ x = \frac{5}{8} $,
$ \therefore CM = \frac{5}{8} $, $ DM = \frac{3}{8} $.
$ \because \angle PEM = \angle D = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle AEP + \angle DEM = 90^{\circ} $,
$ \angle DEM + \angle DME = 90^{\circ} $.
$ \therefore \angle AEP = \angle DME $.
又 $ \because \angle A = \angle D = 90^{\circ} $,
$ \therefore \triangle AEP \sim \triangle DME $.
$ \therefore \frac{AP}{DE} = \frac{AE}{DM} $,即 $ \frac{AP}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}} $,
解得 $ AP = \frac{2}{3} $.
$ \therefore PB = \frac{1}{3} $. $ \therefore AP:PB = 2:1 $.
(3) ① $\frac{4}{5}$ ② $\frac{2n - 2}{2n - 1}$