《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,一个高尔夫球在地面O点被击出,球的飞行路线是抛物线$y=-\frac {1}{5}x^{2}+\frac {8}{5}x$,其中y(m)是飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离.
(1)求球在飞行过程中的最大高度为$\frac{16}{5}$m;
(2)求球在飞行过程中的最大水平距离为8m.

答案： 解:
(1) $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
$= \frac{4 \times \left( - \frac{1}{5} \right) \times 0 - \left( \frac{8}{5} \right)^{2}}{4 \times \left( - \frac{1}{5} \right)} = \frac{16}{5}$
∴球在飞行过程中的最大高度为$\frac{16}{5}$m.
(2) 令$y = 0$, 则$- \frac{1}{5}x^{2} + \frac{8}{5}x = 0$,
解得$x_{1} = 0$, $x_{2} = 8$.
∴球在飞行过程中的最大水平距离为8m.

2. 如图,铅球在A点被推出,铅球的飞行轨迹是抛物线$y=-\frac {1}{4}x^{2}+x+3$,其中y(m)是飞行高度,x(m)是铅球飞出的水平距离.
(1)求铅球在飞行过程中的最大高度为4m;
(2)求此次推铅球的成绩为6m.

答案： 解:
(1) $y = - \frac{1}{4}(x - 2)^{2} + 4$,
当$x = 2$时, $y_{\text{max}} = 4$.
∴铅球在飞行过程中的最大高度为4m.
(2) 当$y = 0$时,
$- \frac{1}{4}(x - 2)^{2} + 4 = 0$
解得$x_{1} = 6$, $x_{2} = - 2$ (舍去).
∴成绩为6m.

3. 【原创题】如图,小明在球门正前方9米点O处将球踢起,射向球门.当球飞行的水平距离为6米时,球到达最高点A,此时球距地面3米.
(1)求球飞行轨迹的抛物线的解析式.$y = - \frac{1}{12}(x - 6)^{2} + 3$
(2)若球门高2.5米,问小明能否射中球门?能

答案： 解:
(1) 依题意, 得顶点A的坐标为$(6,3)$,
设$y = a(x - 6)^{2} + 3$.
∵抛物线过点$(0,0)$,
∴$(0 - 6)^{2}a + 3 = 0$.
∴$a = - \frac{1}{12}$.
∴$y = - \frac{1}{12}(x - 6)^{2} + 3$.
(2) 当$x = 9$时,
$y = - \frac{1}{12}(9 - 6)^{2} + 3$
$= 2.25 ＜ 2.5$
∴能射中球门.

4. (BS九下P57改编)要建造一个圆形的喷水池,在水池中央安装一个柱子OP,P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下.如图,已知$OP=3$米,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米,离柱子OP的距离为1米.
(1)求这条抛物线的函数关系式.$y = - (x - 1)^{2} + 4$
(2)水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不落在池外?3

答案： 解:
(1) 由图知$P(0,3)$, $A(1,4)$,
设$y = a(x - 1)^{2} + 4$.
∵抛物线过点$P(0,3)$,
∴$(0 - 1)^{2}a + 4 = 3$.
∴$a = - 1$.
∴$y = - (x - 1)^{2} + 4$.
(2) 当$y = 0$时,
$x_{1} = - 1$ (舍去), $x_{2} = 3$.
∴水池半径至少3米.

5. 如图是抛物线形的拱桥,水面$AB=4$米,拱顶C离水面2米.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若水面下降2米,则水面的宽度是多少米?

答案： 解:
(1)
∵$AB = 4$, $OC = 2$,
∴$A(-2,0)$, $B(2,0)$, $C(0,2)$.
设抛物线的解析式为$y = a(x + 2)(x - 2)$.
将点$C(0,2)$代入, 得
$(0 + 2)(0 - 2)a = 2$,
∴$a = - \frac{1}{2}$.
∴$y = - \frac{1}{2}(x + 2)(x - 2)$
$= - \frac{1}{2}x^{2} + 2$
(2) 当$y = - 2$时,
$- \frac{1}{2}x^{2} + 2 = - 2$
解得$x_{1} = 2\sqrt{2}$, $x_{2} = - 2\sqrt{2}$ (舍去).
∴水面宽度为$4\sqrt{2}$米.