《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

5. 如图，直线$y = -x + 5$与双曲线$y=\frac{4}{x}$交于点$A(1,4)$和点$B$。
(1) 求点$B$的坐标；
(2) 求直线$AB$与$x$轴的交点坐标；
(3) 连接$OA$，$OB$，$\triangle OAB$的面积为____。

答案：
解:
(1) 依题意，得 $\frac{4}{x} = - x + 5$，
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 4$.
经检验，$x_1 = 1$，$x_2 = 4$ 都是原方程的解.
当 $x = 1$ 时，$y = 4$，
当 $x = 4$ 时，$y = 1$.
$\because A(1,4)$，$\therefore B(4,1)$.
(2) 当 $y = 0$ 时，$- x + 5 = 0$，
$\therefore x = 5$.
$\therefore$ 直线 $AB$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(5,0)$.
(3) 如图，设直线 $AB$ 与 $x$ 轴的交点为 $C$.

$\because C(5,0)$，$\therefore OC = 5$.
$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC}$
$= \frac{1}{2} × 5 × 4 - \frac{1}{2} × 5 × 1$
$= \frac{15}{2}$.
故答案为 $\frac{15}{2}$.

6. (2024·榕城区一模)如图，已知一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(2,3)$，$B(6,1)$，与两坐标轴分别相交于$C$，$D$两点，连接$OA$，$OB$。
(1) 求出一次函数的表达式和$m$的值；
一次函数的表达式为$y = - \frac { 1 } { 2 } x + 4$，$m$的值为6。
(2) 请直接写出当$x ＞ 0$时，$kx + b\leqslant\frac{m}{x}$的解集；
解集是$0 ＜ x \leq 2$ 或 $x \geq 6$。
(3) 若点$P$在$y$轴上，且$S_{\triangle PAO}=S_{\triangle AOB}$，求点$P$的坐标。
点$P$的坐标为$(0,8)$或$(0, - 8)$。

答案： 解:
(1) $\because$ 点 $A(2,3)$，$B(6,1)$ 在一次函数 $y = kx + b$ 的图象上，
$\therefore \left\{ \begin{array} { l } { 2 k + b = 3 }, \\ { 6 k + b = 1 }, \end{array} \right.$
解得 $\left\{ \begin{array} { l } { k = - \frac { 1 } { 2 } }, \\ { b = 4 }. \end{array} \right.$
$\therefore$ 一次函数的表达式为
$y = - \frac { 1 } { 2 } x + 4$.
$\because$ 点 $A(2,3)$ 在反比例函数 $y = \frac { m } { x }$ 的图象上，
$\therefore m = 2 \times 3 = 6$.
(2) 当 $x ＞ 0$ 时，$k x + b \leq \frac { m } { x }$ 的解集是 $0 ＜ x \leq 2$ 或 $x \geq 6$.
(3) 由直线 $y = - \frac { 1 } { 2 } x + 4$ 可知 $C(0,4)$，$\therefore OC = 4$.
$\because A(2,3)$，$B(6,1)$，
$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} - S_{\triangle AOC}$
$= \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times 6 - \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times 2$
$= 8$.
设 $P(0,y)$，则
$S_{\triangle PAO} = \frac { 1 } { 2 } | y | \cdot 2 = 8$，
解得 $y = \pm 8$.
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,8)$ 或 $(0, - 8)$.

7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形$ABCD$的顶点$D$在$y$轴上，$A$，$C$两点的坐标分别为$(2,0)$，$(2,m)$，直线$CD:y_1 = ax + b$与双曲线：$y_2=\frac{k}{x}$交于$C$，$P(-4,-1)$两点。
(1) 求双曲线$y_2$的函数解析式及$m$的值；双曲线$y_2$的函数解析式为$y _ { 2 } = \frac { 4 } { x }$，$m$的值为2
(2) 判断点$B$是否在双曲线上，并说明理由；点$B$在双曲线上
(3) 当$y_1 ＞ y_2$时，请直接写出$x$的取值范围。$- 4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$

答案： 解:
(1) 将点 $P( - 4, - 1)$ 代入 $y _ { 2 } = \frac { k } { x }$，
得 $k = - 4 \times ( - 1 ) = 4$，
$\therefore$ 双曲线 $y _ { 2 }$ 的函数解析式为 $y _ { 2 } = \frac { 4 } { x }$.
将点 $C(2,m)$ 代入 $y _ { 2 } = \frac { 4 } { x }$，
得 $m = \frac { 4 } { 2 } = 2$.
(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形，$A(2,0)$，$C(2,2)$，
$\therefore B \left( 4, \frac { 1 } { 2 } \times 2 \right)$，即 $B(4,1)$.
由
(1) 知双曲线的解析式为 $y _ { 2 } = \frac { 4 } { x }$，
$\because 4 \times 1 = 4$，
$\therefore$ 点 $B$ 在双曲线上.
(3) 由
(1) 知 $C(2,2)$，由图象知，当 $y _ { 1 } ＞ y _ { 2 }$ 时，$x$ 的取值范围为 $- 4 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 2$.

8. 在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y = ax + b(a\neq0)$交双曲线$y=\frac{k}{x}(k ＞ 0)$于$A(1,4)$，$B$两点，交$x$轴于点$C$。
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 若$3CB = AB$，求直线的解析式。

答案：
解:
(1) $\because$ 双曲线 $y = \frac { k } { x } ( k ＞ 0 )$ 过点 $A(1,4)$，
$\therefore k = 1 × 4 = 4$.
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y = \frac { 4 } { x }$.
(2) ① 当 $a ＞ 0$ 时，如图 1，作 $A M \perp x$ 轴于点 $M$，$B N \perp x$ 轴于点 $N$，

$\therefore A M // B N$.
$\therefore \triangle A M C \backsim \triangle B N C$.
$\therefore \frac { A M } { B N } = \frac { A C } { B C }$.
$\because 3 C B = A B$，$\therefore \frac { A M } { B N } = \frac { A C } { B C } = 2$.
$\therefore B N = \frac { 1 } { 2 } A M$.
$\because A(1,4)$，$\therefore A M = 4$.
$\therefore B N = 2$.
$\therefore$ 点 $B$ 的纵坐标为 $- 2$.
把 $y = - 2$ 代入 $y = \frac { 4 } { x }$，
得 $x = - 2$，
$\therefore B( - 2, - 2)$.
$\because$ 直线 $y = a x + b ( a \neq 0 )$ 经过 $A$，$B$ 两点，
$\therefore \left\{ \begin{array} { l } { a + b = 4 }, \\ { - 2 a + b = - 2 }, \end{array} \right.$ 解得 $\left\{ \begin{array} { l } { a = 2 }, \\ { b = 2 }, \end{array} \right.$
$\therefore$ 此时直线的解析式为 $y = 2 x + 2$.
② 当 $a ＜ 0$ 时，如图 2，同理可得点 $B(4,1)$.

$\because$ 直线 $y = a x + b ( a \neq 0 )$ 经过 $A$，$B$ 两点，
$\therefore \left\{ \begin{array} { l } { a + b = 4 }, \\ { 4 a + b = 1 }, \end{array} \right.$ 解得 $\left\{ \begin{array} { l } { a = - 1 }, \\ { b = 5 }. \end{array} \right.$
$\therefore$ 此时直线的解析式为 $y = - x + 5$.
综上所述，直线的解析式为 $y = 2 x + 2$ 或 $y = - x + 5$.