《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

9. (1) (2024·佛山期中) 计算：$\sqrt{3}\cos 60^{\circ} = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(2) 计算 $\tan^{2}30^{\circ} $ 的结果为 (D)
A. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ B. $ \frac{1}{2} $ C. 1 D. $ \frac{1}{3} $

答案：
(1) $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
(2) D

10. 已知 $ \angle A $ 为锐角。
(1) 若 $ \tan A = \sqrt{3} $，则 $ \angle A = $$ 60^{\circ} $；
(2) 若 $ 2\sin A = 1 $，则 $ \angle A = $$ 30^{\circ} $；
(3) 若 $ \tan ( \angle A - 10^{\circ} ) = 1 $，则锐角 $ \angle A = $$ 55^{\circ} $。

答案：
(1) $ 60^{\circ} $
(2) $ 30^{\circ} $
(3) $ 55^{\circ} $

11. (2024·罗湖区模拟) 如图，将一块等腰直角三角板和一块含 $ 30^{\circ} $ 角的直角三角板叠放，则 $ \triangle AOB $ 与 $ \triangle DOC $ 的面积之比为____1:3。

答案： $ 1:3 $

12. (2024·宝安区模拟) 计算：
$ ( \pi - 2024 )^{0} + 3\tan 30^{\circ} - \left| - \sqrt{3} \right| + \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} $。

答案： 解: 原式 $ = 1 + 3 \times \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} + 2 $ $ = 3 $.

13. 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} $，$ AB = 6 $，求 $ \angle A $ 及 $ \triangle ABC $ 的面积。
$ \angle A = $$ 30^{\circ} $，$ \triangle ABC $ 的面积为$ \frac{9\sqrt{3}}{2} $。

答案： 解: $ \because \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \therefore \angle A = 30^{\circ} $. $ \therefore BC = \frac{1}{2}AB = 3 $. 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} $ $ = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3} $, $ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC $ $ = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times 3 $ $ = \frac{9\sqrt{3}}{2} $.

14. 【易错题】如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，$ \angle A = 30^{\circ} $，$ D $ 是边 $ AB $ 上一点，$ \angle BDC = 45^{\circ} $，$ AD = 4 $，求 $ BC $ 的长。(结果保留根号)

解: $ \because \angle B = 90^{\circ}, \angle BDC = 45^{\circ} $, $ \therefore \triangle BCD $ 是等腰直角三角形. $ \therefore BD = BC $. 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \tan \angle A = \tan 30^{\circ} = \frac{BC}{AB} $. 即 $ \frac{BC}{BC + 4} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, 解得 $ BC = $$ 2(\sqrt{3} + 1) $.

答案： 解: $ \because \angle B = 90^{\circ}, \angle BDC = 45^{\circ} $, $ \therefore \triangle BCD $ 是等腰直角三角形. $ \therefore BD = BC $. 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \tan \angle A = \tan 30^{\circ} = \frac{BC}{AB} $. 即 $ \frac{BC}{BC + 4} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, 解得 $ BC = 2(\sqrt{3} + 1) $.

15. 【原创题】先比较大小，再按要求回答问题。
(1) $ \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} $____$ \tan 30^{\circ} $，$ \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} $____$ \tan 45^{\circ} $；
(2) 猜想：对任意锐角 $ \alpha $，$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $____$ \tan \alpha $；
(3) 证明(2)中你的猜测。

答案：

(1) $ = $ $ = $
(2) $ = $
(3) 证明: 如图在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \because \sin \alpha = \frac{a}{c}, \cos \alpha = \frac{b}{c} $, $ \tan \alpha = \frac{a}{b} $, $ \therefore \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b} $. $ \therefore \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha $.

16. 【核心素养】若要求 $ \tan 30^{\circ} $ 的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算。
作 $ \text{Rt} \triangle ABC $，使 $ \angle C = 90^{\circ} $，斜边 $ AB = 2 $，直角边 $ AC = 1 $，那么 $ BC = \sqrt{3} $，$ \angle ABC = 30^{\circ} $，
所以 $ \tan 30^{\circ} = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $。
在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出 $ \tan 15^{\circ} $ 的值，请简要画出你添加的辅助线和求出 $ \tan 15^{\circ} $ 的值。

答案：
解: 方法一: 如图 1, 延长 $ CB $ 至 $ D $, 使 $ BD = AB $, 连接 $ AD $,则 $ \angle D = 15^{\circ} $. $ \therefore \tan 15^{\circ} = \frac{AC}{DC} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} $. 方法二: 如图 2, 延长 $ CA $ 至 $ E $, 使 $ CE = CB $, 连接 $ BE $, 过点 $ A $ 作 $ AF \perp BE $ 于点 $ F $,则 $ \angle ABE = 15^{\circ} $. $ \because AE = CE - CA = \sqrt{3} - 1 $, 又 $ 2AF^2 = AE^2 $, $ \therefore AF^2 = 2 - \sqrt{3} $. $ \because BF^2 = AB^2 - AF^2 $ $ = 2^2 - (2 - \sqrt{3}) $ $ = 2 + \sqrt{3} $, $ \therefore BF = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}, AF = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} $. $ \therefore \tan 15^{\circ} = \frac{AF}{BF} = 2 - \sqrt{3} $.