《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 例 (2024·中山期中)已知二次函数的图象过点$(1, - 3)$,顶点坐标为$(2, - 5)$,求这个二次函数的解析式.

答案： 解:依题意,设二次函数的解析式为
$y = a(x - 2)^2 - 5$.
∵二次函数的图象过点$(1, - 3)$,
$\therefore (1 - 2)^2a - 5 = - 3$,
解得$a = 2$.
∴二次函数的解析式为
$y = 2(x - 2)^2 - 5$,
即$y = 2x^2 - 8x + 3$.

2. 抛物线的图象如图所示,其中点A为顶点.求出点A,B的坐标及抛物线的解析式.

点A的坐标为(2,-4),点B的坐标为(0,4),抛物线的解析式为y=2x²-8x+4.

答案： 解:由图象知$A(2, - 4)$,
$B(0,4)$,
设抛物线的解析式为
$y = a(x - 2)^2 - 4$.
将$B(0,4)$代入,得
$(0 - 2)^2a - 4 = 4$,
解得$a = 2$,
∴抛物线的解析式为
$y = 2(x - 2)^2 - 4$,
即$y = 2x^2 - 8x + 4$.

3. 例 (2024·惠州期中)已知二次函数的图象与y轴相交于点$(0,1)$,对称轴是直线$x = - 1$,函数的最大值为3.
(1)图象的顶点坐标为$(-1,3)$;
(2)求该二次函数的解析式.

答案： 解:
(1)$(- 1,3)$
(2)依题意,设二次函数的解析式为$y = a(x + 1)^2 + 3$.
将$(0,1)$代入,得
$(0 + 1)^2a + 3 = 1$,
解得$a = - 2$.
∴二次函数的解析式为
$y = - 2(x + 1)^2 + 3$,
即$y = - 2x^2 - 4x + 1$.

4. 已知二次函数的图象过点$(4, - 3)$,并且当$x = 3$时,y有最大值4,求这个二次函数的解析式.

答案： 解:依题意,设函数解析式为
$y = a(x - 3)^2 + 4$.
将点$(4, - 3)$代入,得
$a + 4 = - 3$,
解得$a = - 7$,
∴这个二次函数的解析式为
$y = - 7(x - 3)^2 + 4$,
即$y = - 7x^2 + 42x - 59$.

5. 例 已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为$(- 3,0),(1,0)$,且与y轴的交点坐标为$(0, - 3)$,求这个二次函数的解析式.

答案： 解:依题意,设函数的解析式为
$y = a(x + 3)(x - 1)$.
将点$(0, - 3)$代入,得
$- 3a = - 3$.
$\therefore a = 1$.
∴所求函数解析式为
$y = (x + 3)(x - 1)$,
即$y = x^2 + 2x - 3$.

6. 根据图中条件求抛物线的解析式.

解:由图象可知,二次函数的图象与$x$轴的两个交点坐标为$(1,0),(3,0)$,依题意,设函数的解析式为
$y = a(x - 1)(x - 3)$.
将点$(2,2)$代入,得$a = $$-2$,
∴抛物线的解析式为
$y = $$-2(x - 1)(x - 3)$,
即$y = $$-2x^2 + 8x - 6$.

答案： 解:由图象可知,二次函数的图象与$x$轴的两个交点坐标为$(1,0),(3,0)$,依题意,设函数的解析式为
$y = a(x - 1)(x - 3)$.
将点$(2,2)$代入,得$a = - 2$,
∴抛物线的解析式为
$y = - 2(x - 1)(x - 3)$,
即$y = - 2x^2 + 8x - 6$.