《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1.（2024·紫金县模拟）在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$AB = 13$，则$\tan A$的值是$\frac{5}{12}$.

答案： $\frac{5}{12}$

2.在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，若$\bigtriangleup ABC$的三边都扩大3倍，则$\sin A$的值（C）
A.放大3倍
B.缩小$\frac{1}{3}$
C.不变
D.无法确定

答案： C

3.（1）计算：$\sqrt{2}\sin 45^{\circ} - \sqrt{3}\tan 60^{\circ} + \tan^{2}45^{\circ} =$-1；
（2）已知$\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，若$\alpha$是锐角，则$\alpha$的度数为（B）
A.$30^{\circ}$ B.$45^{\circ}$ C.$60^{\circ}$ D.$90^{\circ}$

答案：
(1) -1
(2) B

4.拦水坝的横断面如图所示，迎水坡$AB$的坡比是$1:\sqrt{3}$，坝高$BC = 8m$，则坡面$AB$的长度是16m.

答案： 16

5.（2024·禅城区二模）如图，网格中的点$A$，$B$，$C$，$D$都在小正方形顶点上，连接$AB$，$CD$相交于点$P$，则$\angle BPC$的正切值是（A）

A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案： A

6.（2024·深圳校级三模）计算：$\sqrt{8} - (\pi - 3.14)^{0} - 2\sin 45^{\circ} + |\sqrt{2} - 2|$.

答案： 解:原式
$=2\sqrt{2}-1-2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+2-\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}-1-\sqrt{2}+2-\sqrt{2}$
$=1$

7.（2024·南海区三模）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
|题目|测量树顶到地面的距离|
| ---- | ---- |
|测量目标示意图| |
|相关数据|$AB = 30m$，$\angle\alpha = 28^{\circ}$，$\angle\beta = 45^{\circ}$|
设树顶到地面的高度$DC = xm$，根据以上条件可列方程为（B）
A.$x = (x - 30)\tan 28^{\circ}$
B.$x = (30 + x)\tan 28^{\circ}$
C.$x + 30 = \tan 28^{\circ}$
D.$x - 30 = \tan 28^{\circ}$

答案： B

8.（2024·宝安区二模）如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$A$作$BC$的垂线，垂足为$E$，延长$BC$到点$F$，使$CF = BE$，连接$DF$.
（1）求证：四边形$AEFD$是矩形；
（2）连接$OE$，若$BD = 8$，$AC = 4$，求$\cos\angle BOE$.

答案：

(1) 证明:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AD//BC,AD = BC.
∵ CF = BE,
∴ CF + CE = BE + CE,
即 EF = BC.
∴ AD = EF.
又
∵ AD//EF,
∴ 四边形 AEFD 是平行四边形.
∵ AE⊥BC,
∴ ∠AEF = 90°.
∴ 四边形 AEFD 是矩形.
(2) 解:如图,过点 E 作 EG⊥AC 于点 G,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC⊥BD,
$AO = CO = \frac{1}{2}AC = 2$,
$BO = DO = \frac{1}{2}BD = 4$.
∴ EG//BD.
∴ ∠BOE = ∠OEG.
在 Rt△BOC 中,由勾股定理,得
$BC = \sqrt{CO^{2}+BO^{2}} = \sqrt{2^{2}+4^{2}}$
$=2\sqrt{5}$,
∵ AE⊥BC,
∴ $S_{菱形ABCD} = BC\cdot AE$
$= \frac{1}{2}AC\cdot BD$
$= \frac{1}{2}×4×8 = 16$,
∠AEC = 90°.
∴ $AE = \frac{16}{2\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$,
$OE = \frac{1}{2}AC = AO = 2$.
∴ $CE = \sqrt{AC^{2}-AE^{2}}$
$= \sqrt{4^{2}-(\frac{8\sqrt{5}}{5})^{2}}$
$= \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
∵ $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2}AC\cdot EG$
$= \frac{1}{2}AE\cdot CE$,
∴ AC·EG = AE·CE.
∴ $EG = \frac{AE\cdot CE}{AC} = \frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}×\frac{4\sqrt{5}}{5}}{4}$
$= \frac{8}{5}$.
∴ cos∠BOE = cos∠OEG
$= \frac{EG}{OE} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5}$.