《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

5. (BS九上P28)如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形.

答案： 证明：$\because BG,CG$是角平分线,
$\therefore \angle GBC=\frac{1}{2}\angle ABC,$
$\angle BCG=\frac{1}{2}\angle DCB.$
又$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB// CD,$
$\angle ABC+\angle DCB=180^{\circ}.$
$\therefore \angle GBC+\angle BCG=90^{\circ}.$
$\therefore \angle G=90^{\circ}.$
同理易证$\angle E=90^{\circ},$
$\angle DHC=90^{\circ},$
$\therefore \angle GHE=90^{\circ}.$
$\therefore$ 四边形$EFGH$是矩形.

6. (BS九上P16改编)如图，直线MN与AC相交于点A，AP，AQ分别是∠NAC和∠MAC的平分线，CB⊥AQ于点B，CD⊥AP于点D. 求证：四边形ADCB是矩形.
证明：∵ AQ,AP分别平分∠MAC和∠NAC,
∴ ∠BAC=1/2∠MAC,
∠PAC=1/2∠NAC.
又∵ ∠MAC+∠NAC=180°,
∴ ∠BAC+∠PAC=90°,
即∠BAP=90°.
又∵ CB⊥AQ,CD⊥AP,
∴ ∠CBA=90°,∠CDA=90°.
∴ 四边形ADCB是矩形.

答案： 证明：$\because AQ,AP$分别平分$\angle MAC$和$\angle NAC,$
$\therefore \angle BAC=\frac{1}{2}\angle MAC,$
$\angle PAC=\frac{1}{2}\angle NAC.$
又$\because \angle MAC+\angle NAC=180^{\circ},$
$\therefore \angle BAC+\angle PAC=90^{\circ},$
即$\angle BAP=90^{\circ}.$
又$\because CB\perp AQ,CD\perp AP,$
$\therefore \angle CBA=90^{\circ},\angle CDA=90^{\circ}.$
$\therefore$ 四边形$ADCB$是矩形.

7. (2024·光明区二模)如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 若添加一个条件，使得□ABCD是矩形，则这个条件可以是 (B)
A. AB=AD
B. AO=BO
C. AC⊥BD
D. AO=CO

答案： B

8. 【本课易错汇编】下列命题正确的是①⑥. (填序号)
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②四条边相等的四边形是矩形；
③有一组邻边相等的平行四边形是矩形；
④对角线相等的四边形是矩形；
⑤对角线互相平分的四边形是矩形；
⑥矩形的对角线相等且互相平分.

答案： ①⑥

9. (2024·福田区期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE=BC，连接AE，过点B作BF//AC交AE于点F，连接OF.
(1) 求证：四边形AFBO是矩形；
(2) 若∠E=30°，OF=2，求菱形ABCD的面积.

(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore AD// BC,AC\perp BD,$
$AD=BC.$
$\because BE=BC,\therefore AD=BE.$
$\therefore$ 四边形$AEBD$是平行四边形.
$\therefore AE// BD.$
又$\because BF// AC,$
$\therefore$ 四边形$AFBO$是平行四边形.
又$\because AC\perp BD$，即$\angle AOB=90^{\circ},$
$\therefore$ 四边形$AFBO$是矩形.
(2) 解：由(1) 知四边形$AFBO$是矩形,
$\therefore AB=OF=2,\angle EAC=90^{\circ}.$
又$\because \angle E=30^{\circ},$
$\therefore \angle ACE=90^{\circ}-\angle E=60^{\circ}.$
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore AB=BC.$
$\therefore \triangle ABC$为等边三角形.
$\therefore AB=BC=AC=2.$
易证$OC=1.$
$\therefore OB=\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{3}.$
$\therefore S_{菱形ABCD}=2S_{\triangle ABC}$
$=2×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$
$=$$2\sqrt{3}$.

答案：
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore AD// BC,AC\perp BD,$
$AD=BC.$
$\because BE=BC,\therefore AD=BE.$
$\therefore$ 四边形$AEBD$是平行四边形.
$\therefore AE// BD.$
又$\because BF// AC,$
$\therefore$ 四边形$AFBO$是平行四边形.
又$\because AC\perp BD$，即$\angle AOB=90^{\circ},$
$\therefore$ 四边形$AFBO$是矩形.
(2) 解：由
(1) 知四边形$AFBO$是矩形,
$\therefore AB=OF=2,\angle EAC=90^{\circ}.$
又$\because \angle E=30^{\circ},$
$\therefore \angle ACE=90^{\circ}-\angle E=60^{\circ}.$
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore AB=BC.$
$\therefore \triangle ABC$为等边三角形.
$\therefore AB=BC=AC=2.$
易证$OC=1.$
$\therefore OB=\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{3}.$
$\therefore S_{菱形ABCD}=2S_{\triangle ABC}$
$=2\times\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}.$