《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

8. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+6x-m^{2}=0$。
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根$x_{1}$，$x_{2}$满足$x_{1}+2x_{2}=-5$，求$m$的值。
(1) 证明: 依题意, 得
$\Delta = 6^2 - 4 × 1 × (-m^2)$
$= 36 + 4m^2 ＞ 0$,
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根.
(2) 解: 依题意, 得 $x_1 + x_2 = -6$,
又 $\because x_1 + 2x_2 = -5$,
$\therefore x_2 = 1$.
$\therefore 1^2 + 6 × 1 - m^2 = 0$,
解得 $m =$$\pm \sqrt{7}$.

答案：
(1) 证明: 依题意, 得
$\Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times (-m^2)$
$= 36 + 4m^2 ＞ 0$,
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根.
(2) 解: 依题意, 得 $x_1 + x_2 = -6$,
又 $\because x_1 + 2x_2 = -5$,
$\therefore x_2 = 1$.
$\therefore 1^2 + 6 \times 1 - m^2 = 0$,
解得 $m = \pm \sqrt{7}$.

9. 如果$x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}-6x-7=0$的两个根，那么 (A)
A. $x_{1}+x_{2}=6$
B. $x_{1}+x_{2}=-6$
C. $x_{1}x_{2}=\frac{7}{6}$
D. $x_{1}x_{2}=7$

答案： A

10. 若矩形的长和宽是关于$x$的方程$2x^{2}-8x+m=0$的两个根，则矩形的周长为 (A)
A. 8
B. 4
C. 2
D. 6

答案： A

11. 已知方程$x^{2}-kx-3=0$的两个根为$x_{1}$，$x_{2}$，若方程的两个根互为相反数，则$k=$0，$x_{1}x_{2}=$-3。

答案： 0 -3

12. (BS九上P57改编)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-10x+k=0$的一个根为$5+\sqrt{3}$，则方程的另一个根为$5 - \sqrt{3}$，$k=$22。

答案： $5 - \sqrt{3}$ 22

13. (2024·汕尾月考)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+2m=0$。
(1)求证：不论$m$为何值，方程总有实数根；
(2)若该方程有一个根为4，求$m$的值；4
(3)若方程的两个实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，且满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9$，求$m$的值。$\pm \sqrt{5}$

答案：
(1) 证明:
$\because \Delta = [-(m + 2)]^2 - 4 \times 2m$
$= (m - 2)^2 \geq 0$,
$\therefore$ 不论 $m$ 为何值, 方程总有实数根.
(2) 解: 把 $x = 4$ 代入
$x^2 - (m + 2)x + 2m = 0$,
得 $16 - 4(m + 2) + 2m = 0$,
解得 $m = 4$.
(3) 解: 依题意, 得
$x_1 + x_2 = m + 2$, $x_1x_2 = 2m$,
$\because x_1^2 + x_2^2 = 9$,
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9$.
$\therefore (m + 2)^2 - 2 \times 2m = 9$,
整理, 得 $m^2 = 5$,
解得 $m_1 = \sqrt{5}$, $m_2 = -\sqrt{5}$,
即 $m$ 的值为 $\pm \sqrt{5}$.