《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

5. 例 (2024·越秀区校级三模)某校根据《学校卫生工作条例》，为预防蚊虫叮咬，对教室进行薰药消毒.已知药物在释放过程中，室内空气中每立方米含药量$y(mg)$与释放时间$x(min)$之间的关系如图所示，根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围.
一次函数的解析式为$y=$$\frac{3}{4}x$，自变量的取值范围是$0\leq x\leq16$；反比例函数的解析式为$y=$$\frac{192}{x}$，自变量的取值范围是$x\geq16$.
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于$3mg$时，对人体无毒害作用.从消毒开始，至少在60分钟内，师生不能待在教室？

答案： 解：
(1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$。
将$(24,8)$代入解析式，得
$k = xy = 24\times8 = 192$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{192}{x}$。
将$y = 12$代入解析式，得
$\frac{192}{x}=12$，解得$x = 16$，
∴点$A$的坐标为$(16,12)$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{192}{x}(x\geq16)$。
设一次函数的解析式为$y = nx$。
将$A(16,12)$代入，得
$n=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，
∴一次函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x(0\leq x\leq16)$。
(2)在$y=\frac{192}{x}$中，当$y = 3$时，
$x=\frac{192}{3}=64$；
在$y=\frac{3}{4}x$中，当$y = 3$时，$x = 4$。
由函数图象可得当$4\leq x\leq64$时，
$y\geq3$。
∵$64 - 4 = 60(min)$，
答：师生至少在$60min$内不能待在教室。

6. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度$y(^{\circ}C)$与时间$x(h)$之间的函数关系.其中线段$AB$，$BC$表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分$CD$表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度$y$与时间$x(0\leqslant x\leqslant 24)$的函数表达式.
$y=\begin{cases}2x + 10(0\leq x\lt5),\\20(5\leq x\lt10),\\\frac{200}{x}(10\leq x\leq24).\end{cases}$
(2)求恒温系统设定的恒定温度.
20$^{\circ}C$
(3)若大棚内的温度低于$10^{\circ}C$时，蔬菜会受到伤害，求这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
10小时

答案： 解：
(1)设线段$AB$的表达式为$y = k_1x + b(k_1\neq0)$。
∵线段$AB$过点$(0,10)$，$(2,14)$，
∴$\begin{cases}b = 10,\\2k_1 + b = 14,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1 = 2,\\b = 10.\end{cases}$
∴线段$AB$的表达式为$y = 2x + 10(0\leq x\leq5)$。
∵点$B$在线段$AB$上，
当$x = 5$时，$y = 20$，
∴$B(5,20)$。
∴线段$BC$的表达式为$y = 20(5\leq x\lt10)$。
设双曲线$CD$的表达式为$y=\frac{k_2}{x}(k_2\neq0)$。
∵$C(10,20)$，
∴$k_2 = 200$。
∴双曲线$CD$的表达式为$y=\frac{200}{x}(10\leq x\leq24)$。
∴$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}2x + 10(0\leq x\lt5),\\20(5\leq x\lt10),\\\frac{200}{x}(10\leq x\leq24).\end{cases}$
(2)由
(1)得恒温系统设定的恒定温度为$20^{\circ}C$。
(3)把$y = 10$代入$y=\frac{200}{x}$中，
解得$x = 20$，
∴$20 - 10 = 10(h)$。
答：恒温系统最多可以关闭$10h$，蔬菜才能避免受到伤害。

7. 一艘轮船装载$2800$吨货物，写出平均卸货速度$v$(单位：吨/天)与卸货天数$t$之间的关系式：$v=\frac{2800}{t}$.

答案： $v=\frac{2800}{t}$

8. 【跨学科融合】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压$p(kPa)$是气体体积$V(m^{3})$的反比例函数，其图象如图所示.
(1)写出该函数的表达式.$p=\frac{96}{V}$
(2)当气体体积为$2m^{3}$时，气压是多少？$48kPa$
(3)当气球内的气压大于$140kPa$时，气球将爆炸.为了安全起见，气体的体积应不小于多少？$\frac{24}{35}m^3$

答案： 解：
(1)设$p$与$V$的函数关系式为$p=\frac{k}{V}$，
则$\frac{k}{0.8}=120$，解得$k = 96$。
∴该函数的表达式为$p=\frac{96}{V}$。
(2)当气球内气体的体积是$2m^3$时，
$p=\frac{96}{2}=48(kPa)$。
答：当气体体积为$2m^3$时，气压是$48kPa$。
(3)当$p\gt140kPa$时，气球将爆炸，
∴$p\leq140$，即$\frac{96}{V}\leq140$，
解得$V\geq\frac{24}{35}$。
答：为了安全起见，气体的体积应不小于$\frac{24}{35}m^3$。