《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，根据三角板的数据填空：
$ \sin 30^{\circ} = $$\frac{1}{2}$；$ \sin 60^{\circ} = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$ \cos 30^{\circ} = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$ \cos 60^{\circ} = $$\frac{1}{2}$；
$ \tan 30^{\circ} = $$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$ \tan 60^{\circ} = $$\sqrt{3}$。

答案： $ \frac{1}{2} $ $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ $ \frac{1}{2} $ $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ $ \sqrt{3} $

2. 如图，根据三角板的数据填空：
$ \sin 45^{\circ} = $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $；
$ \cos 45^{\circ} = $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $；
$ \tan 45^{\circ} = $$ 1 $。

答案： $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $

| $ \angle A $的度数 | $ 30^{\circ} $ | $ 45^{\circ} $ | $ 60^{\circ} $ |
|---------------------|-----------------|-----------------|-----------------|
| $ \sin A $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ |
| $ \cos A $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ |
| $ \tan A $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ 1 $ | $ \sqrt{3} $ |

答案： $ \frac{1}{2} $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ \frac{1}{2} $ $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ $ 1 $ $ \sqrt{3} $

4. 填空：
(1) $ \sin 30^{\circ} = $$\frac{1}{2}$； (2) $ 2\cos 60^{\circ} = $1；
(3) $ 3\tan 45^{\circ} = $3； (4) $ \sqrt{2}\sin 45^{\circ} = $1；
(5) $ \sin^{2}30^{\circ} = $$\frac{1}{4}$； (6) $ \tan^{2}30^{\circ} = $$\frac{1}{3}$。

答案：
(1) $ \frac{1}{2} $
(2) $ 1 $
(3) $ 3 $
(4) $ 1 $
(5) $ \frac{1}{4} $
(6) $ \frac{1}{3} $

5. 计算：$ \sin^{2}60^{\circ} + \cos^{2}60^{\circ} - \tan 45^{\circ} $。

答案： 解: 原式 $ = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 1 $ $ = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 1 $ $ = 0 $.

6. 计算：$ \tan 30^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} - \cos^{2}45^{\circ} $。

答案： 解: 原式 $ = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 $ $ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} $ $ = 0 $.

7. 已知 $ \angle A $ 是锐角，填空：
(1) 若 $ \sin A = \frac{1}{2} $，则 $ \angle A = $$ 30^{\circ} $；
(2) 若 $ \tan A = 1 $，则 $ \angle A = $$ 45^{\circ} $；
(3) 若 $ 2\cos A = 1 $，则 $ \angle A = $$ 60^{\circ} $；
(4) 若 $ \tan^{2}A = 3 $，则 $ \angle A = $$ 60^{\circ} $；
(5) 若 $ \cos A = \frac{1}{3} $，则 $ \angle A \approx $$ 70.53^{\circ} $。
(参考数据：$ \sin 19.47^{\circ} \approx \frac{1}{3} $，$ \cos 70.53^{\circ} \approx \frac{1}{3} $，$ \tan 18.43^{\circ} \approx \frac{1}{3} $)

答案：
(1) $ 30^{\circ} $
(2) $ 45^{\circ} $
(3) $ 60^{\circ} $
(4) $ 60^{\circ} $
(5) $ 70.53^{\circ} $

8. 在 $ \triangle ABC $ 中，已知 $ \angle A, \angle B $ 是锐角，且 $ \left| \sin A - \frac{1}{2} \right| + \left| \tan B - \sqrt{3} \right| = 0 $，判断 $ \triangle ABC $ 的形状。

答案： 解: $ \because \left| \sin A - \frac{1}{2} \right| + \left| \tan B - \sqrt{3} \right| = 0 $, $ \therefore \sin A - \frac{1}{2} = 0 $, $ \tan B - \sqrt{3} = 0 $. $ \therefore \sin A = \frac{1}{2}, \tan B = \sqrt{3} $. $ \therefore \angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ} $. $ \therefore \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 90^{\circ} $. $ \therefore \triangle ABC $ 为直角三角形.