《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. 如图，在菱形$ABCD$中，$DE \perp AB$于点$E$，$BE = 4$，$\cos A = \frac{3}{5}$，求菱形的周长。

解:$\because DE\perp AB$,
$\therefore \cos A=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$.
设菱形$ABCD$的边长为$x$,
则$AD=x,AE=AB-BE=x-4$.
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{x-4}{x}$,即$\frac{x-4}{x}=\frac{3}{5}$,
解得$x=10$.
$\therefore$ 菱形$ABCD$的周长为
$4×10=$40.

答案： 解:$\because DE\perp AB$,
$\therefore \cos A=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$.
设菱形$ABCD$的边长为$x$,
则$AD=x,AE=AB-BE=x-4$.
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{x-4}{x}$,即$\frac{x-4}{x}=\frac{3}{5}$,
解得$x=10$.
$\therefore$ 菱形$ABCD$的周长为
$4\times10=40$.

8. 【原创题】如图，$C$是$Rt\triangle OAB$斜边上的一点，$AC = 16$，$\sin A = \frac{5}{13}$，$OB = OC$，求$\triangle AOB$的面积。

解:设$OB=x$,则$AO=16+x$.
$\therefore \sin A=\frac{OB}{AO}=\frac{x}{16+x}$,
即$\frac{x}{16+x}=\frac{5}{13}$,解得$x=$10.
$\therefore AO=16+10=$26,$OB=$10.
$\therefore AB=\sqrt{AO^{2}-OB^{2}}$
$=\sqrt{26^{2}-10^{2}}=$24.
$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot OB$
$=\frac{1}{2}×24×10=$120.

答案： 解:设$OB=x$,则$AO=16+x$.
$\therefore \sin A=\frac{OB}{AO}=\frac{x}{16+x}$,
即$\frac{x}{16+x}=\frac{5}{13}$,解得$x=10$.
$\therefore AO=16+10=26,OB=10$.
$\therefore AB=\sqrt{AO^{2}-OB^{2}}$
$=\sqrt{26^{2}-10^{2}}=24$.
$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot OB$
$=\frac{1}{2}\times24\times10=120$.

9. 如图，甲、乙表示两个楼梯。
(1) 求$\tan A$，$\sin A$，$\cos A$，$\tan D$，$\sin D$，$\cos D$的值；
(2) 试比较两个楼梯中哪一个更陡。

答案： 解:
(1)$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$
$=\sqrt{8^{2}+6^{2}}$
$=10(\mathrm{cm})$,
$DF=\sqrt{DE^{2}-EF^{2}}$
$=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12(\mathrm{cm})$,
$\therefore \tan A=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$,
$\sin A=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$,
$\cos A=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$,
$\tan D=\frac{5}{12},\sin D=\frac{5}{13}$,
$\cos D=\frac{12}{13}$.
(2)$\because \tan A=\frac{3}{4}$,
$\tan D=\frac{5}{12},\frac{3}{4}＞\frac{5}{12}$,
$\therefore$ 甲楼梯更陡.

10. 【易错题】已知梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为$\angle A$，下列关于$\angle A$的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，叙述正确的是 (A)
A. $\sin A$的值越大，梯子越陡
B. $\cos A$的值越大，梯子越陡
C. $\tan A$的值越小，梯子越陡
D. 倾斜程度与$\angle A$的函数值无关

答案： A

11. 【原创题】在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\sin A = \frac{3}{5}$，则下列说法正确的是 (D)
A. 斜边等于5
B. $\cos A = \frac{3}{4}$
C. $\tan B = \frac{3}{4}$
D. 若$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，相似比为$k$，则$\tan A' = \frac{3}{4}$

答案： D

12. (2024·连山县模拟)已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，有下列条件：
①$AB = 12$；②$\sin A = \frac{3}{5}$；③$\tan A = \frac{3}{4}$；
④$\cos A = \frac{4}{5}$。
请选择两个可以求出$BC$长的条件，并写出求$BC$的解答过程。
解:选择①③(答案不唯一).
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,
$\tan A=\frac{3}{4},AB=12$,
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{12}=\frac{3}{4}$,
解得$BC=9$.

答案： 解:选择①③(答案不唯一).
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,
$\tan A=\frac{3}{4},AB=12$,
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{12}=\frac{3}{4}$,
解得$BC=9$.