《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

5. (2024·佛山一模) 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，$AD// BC$，对角线 $AC\perp BD$ 于点 $O$。若添加一个条件后，可使得四边形 $ABCD$ 是正方形，则添加的条件可以是____AC = BD（答案不唯一）。（不再增加其他线条和字母）

答案： 5. AC = BD（答案不唯一）

6. (2024·宝安区期中) 如图，已知 $□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，添加下列条件后，$□ ABCD$ 不一定是正方形的是（B）


A. $AB = AD$，$AC = BD$
B. $AB = BC$，$AC\perp BD$
C. $\angle BAD = 90^{\circ}$，$AC\perp BD$
D. $\angle AOD = 90^{\circ}$，$AO = DO$

答案： 6. B

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 90^{\circ}$，$D$，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$AB$，$AC$ 边上的中点。求证：四边形 $AEDF$ 是正方形。
证明：∵ D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，
∴ AE//DF，DE//AF。
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形。
又∵ ∠BAC = 90°，
∴ 四边形 AEDF 是矩形。
∵ D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC，DF = $\frac{1}{2}$AB。
又∵ AB = AC，∴ DE = DF，
∴ 矩形 AEDF 是正方形。

答案： 7. 证明：
∵ D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，
∴ AE//DF，DE//AF。
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形。
又
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 四边形 AEDF 是矩形。
∵ D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC，DF = $\frac{1}{2}$AB。
又
∵ AB = AC，
∴ DE = DF，
∴ 矩形 AEDF 是正方形。

8. (BS 九上 P25 改编) 如图，$E$，$F$，$P$，$Q$ 分别是正方形 $ABCD$ 四条边上的点，并且 $AF = BP = CQ = DE$。求证：
(1) $EF = FP = PQ = QE$；
(2) 四边形 $EFPQ$ 是正方形。

答案： 8. 证明：（1）
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = AD，∠A = ∠D = 90°。
∵ AP = AB - BP，
DF = AD - AF，
∴ AP = DF。
在△APF 和△DFE 中，
$\begin{cases} AF = DE, \\ ∠A = ∠D, \\ AP = DF, \end{cases}$
∴ △APF≌△DFE（SAS）。
∴ FP = EF。
同理 FP = PQ = QE。
∴ EF = FP = PQ = QE。
（2）由（1）知四边形 EFPQ 是菱形。
∵ △APF≌△DFE，
∴ ∠AFP = ∠DEF。
∵ ∠DEF + ∠DFE = 90°，
∴ ∠AFP + ∠DFE = 90°。
∴ ∠PFE = 90°。
∴ 四边形 EFPQ 是正方形。

9. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，过点 $C$ 的直线 $MN// AB$，$D$ 为边 $AB$ 上一点，过点 $D$ 作 $DE\perp BC$，交直线 $MN$ 于 $E$，垂足为 $F$，连接 $CD$，$BE$。
(1) 求证：$CE = AD$。
(2) 当 $D$ 为 $AB$ 的中点时，四边形 $BECD$ 是什么特殊四边形？说明你的理由。
答：四边形 $BECD$ 是菱形。
(3) 若 $D$ 为 $AB$ 的中点，则当 $\angle A$ 的大小满足什么条件时，四边形 $BECD$ 是正方形？请说明你的理由。
答：当 $\angle A =$45°时，四边形 $BECD$ 是正方形。

答案： 9. （1）证明：
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DFB = 90°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACB = ∠DFB。
∴ AC//DE。
又
∵ MN//AB，即 CE//AD，
∴ 四边形 ADEC 是平行四边形。
∴ CE = AD。
（2）解：四边形 BECD 是菱形。理由如下：
∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD = BD。
由（1）得 CE = AD，
∴ BD = CE。
又
∵ BD//CE，
∴ 四边形 BECD 是平行四边形。
∵ ∠ACB = 90°，D 为 AB 的中点，
∴ CD = BD。
∴ 四边形 BECD 是菱形。
（3）解：当 ∠A = 45° 时，四边形 BECD 是正方形。理由如下：
∵ ∠ACB = 90°，∠A = 45°，
∴ ∠ABC = ∠A = 45°。
∴ AC = BC。
∵ D 为 AB 的中点，
∴ CD⊥AB。
∴ ∠CDB = 90°。
又
∵ 四边形 BECD 是菱形，
∴ 四边形 BECD 是正方形，即当 ∠A = 45° 时，四边形 BECD 是正方形。