《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

13. 若$x_{1}$，$x_{2}$是方程$-3x^{2}+3x + 5 = 0$的两个根，则$x_{1}+x_{2}=$1，$x_{1}\cdot x_{2}=$$-\frac{5}{3}$。

答案： 1 $ - \frac { 5 } { 3 } $

14. 已知关于$x$的方程$x^{2}-2x + m = 0$有两个不相等的实数根$x_{1}$，$x_{2}$，则（D）
A. $x_{1}+x_{2} ＜ 0$
B. $x_{1}x_{2} ＜ 0$
C. $x_{1}x_{2} ＞ -1$
D. $x_{1}x_{2} ＜ 1$

答案： D

15. 【原创题】已知一个直角三角形的两边的长恰好是方程$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{7}{2}x + 6 = 0$的两个根，则此三角形的周长为$ 7 + \sqrt { 7 } $ 或 12。

答案： $ 7 + \sqrt { 7 } $ 或 12

16. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值是______7。

答案： 7

17. （2024·佛山期末）已知平行四边形$ABCD$的两边$AB$，$BC$的长是关于$x$的方程$x^{2}-(m + 3)x + 2m + 2 = 0$的两个实数根。
（1）求证：无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
（2）当$m$为何值时，四边形$ABCD$是菱形？求出此时菱形的边长。

答案：
(1) 证明：
$ \because \Delta = [ - ( m + 3 ) ] ^ { 2 } - 4 ( 2 m + 2 ) $
$ = ( m - 1 ) ^ { 2 } \geq 0 $，
$ \therefore $ 无论 $ m $ 取何值，方程总有两个实数根。
(2) 解：若四边形 $ ABCD $ 是菱形，由邻边相等可知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( m + 3 ) x + 2 m + 2 = 0 $ 的两个实数根相等，
$ \therefore \Delta = ( m - 1 ) ^ { 2 } = 0 $
$ \therefore m _ { 1 } = m _ { 2 } = 1 $
$ \therefore $ 方程为 $ x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 2 $
$ \therefore $ 当 $ m = 1 $ 时，四边形 $ ABCD $ 是菱形，这时菱形的边长为 2。

18. （2024·连州期中）【材料阅读】
十六世纪时，法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系。由于该关系最早由韦达发现，所以人们把这个关系称为韦达定理。韦达定理：有形如$ax^{2}+bx + c = 0$（$a$，$b$，$c$是常数，且$a\neq0$）的一元二次方程的两根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，则有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
【问题解决】
（1）若$m$，$n$是一元二次方程$x^{2}-5x + 6 = 0$的两个实数根，求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值；
（2）若$x_{1}$，$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(k + 1)x + k^{2}+2 = 0$的两个实数根，且$(x_{1}+1)(x_{2}+1) = 8$，求$k$的值；
（3）已知$\alpha$，$\beta$（$\alpha ＞ \beta$）是一元二次方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两个实数根，设$S_{1}=\alpha+\beta$，$S_{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}$，求$S_{1}=$1，$S_{2}=$3的值。

答案： 解：
(1) 根据根与系数的关系，得 $ m + n = 5 $，$ m n = 6 $，
$ \therefore \frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n } = \frac { m + n } { m n } = \frac { 5 } { 6 } $
(2) 依题意，得
$ \Delta = [ - 2 ( k + 1 ) ] ^ { 2 } - 4 ( k ^ { 2 } + 2 ) \geq 0 $，
解得 $ k \geq \frac { 1 } { 2 } $
根据根与系数的关系，得
$ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 ( k + 1 ) $，
$ x _ { 1 } x _ { 2 } = k ^ { 2 } + 2 $，
$ \because ( x _ { 1 } + 1 ) ( x _ { 2 } + 1 ) = 8 $，
$ \therefore x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } + 1 = 8 $
$ \therefore k ^ { 2 } + 2 + 2 ( k + 1 ) + 1 = 8 $，
整理，得 $ k ^ { 2 } + 2 k - 3 = 0 $，
解得 $ k _ { 1 } = 1 $，$ k _ { 2 } = - 3 $
$ \because k \geq \frac { 1 } { 2 } $，
$ \therefore k $ 的值为 1。
(3) $ \because \alpha $，$ \beta ( \alpha ＞ \beta ) $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $ 的两个实数根，
$ \therefore \alpha + \beta = 1 $，$ \alpha \beta = - 1 $
$ \therefore S _ { 1 } = 1 $，
$ S _ { 2 } = \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } $
$ = ( \alpha + \beta ) ^ { 2 } - 2 \alpha \beta $
$ = 1 ^ { 2 } - 2 \times ( - 1 ) = 3 $