《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (1) 抛物线$y = x^2$向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = (x - 2)^2$；
(2) 抛物线$y = x^2$向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = x^2 - 1$。

答案：
(1)$y = (x - 2)^2$
(2)$y = x^2 - 1$

2. 猜想：
抛物线$y = x^2$先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = (x - 2)^2 - 1$。

答案： $y = (x - 2)^2 - 1$

3. 例 在如图的平面直角坐标系中画出二次函数$y = (x - 2)^2 - 1$的图象。
先确定顶点$(2,-1)$，与$x$轴交点$(1,0)$、$(3,0)$，与$y$轴交点$(0,3)$，列表（如下）：
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ |
再描点、用平滑曲线连线得到$y=(x - 2)^2-1$的图象。

答案： 【解析】：
1. 首先求抛物线$y=(x - 2)^2-1$的顶点坐标：
对于二次函数的顶点式$y=a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
在$y=(x - 2)^2-1$中，$h = 2$，$k=-1$，所以顶点坐标为$(2,-1)$。
2. 然后求抛物线与$x$轴的交点：
令$y = 0$，则$(x - 2)^2-1=0$。
即$(x - 2)^2=1$，开方得$x - 2=\pm1$。
当$x - 2 = 1$时，$x=3$；当$x - 2=-1$时，$x = 1$。所以与$x$轴交点坐标为$(1,0)$，$(3,0)$。
3. 接着求抛物线与$y$轴的交点：
令$x = 0$，则$y=(0 - 2)^2-1=4 - 1=3$，所以与$y$轴交点坐标为$(0,3)$。
4. 最后列表、描点、连线：
列表：
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ |
描点：在平面直角坐标系中描出$(0,3)$，$(1,0)$，$(2,-1)$，$(3,0)$，$(4,3)$等点。
连线：用平滑的曲线将这些点连接起来，就得到二次函数$y=(x - 2)^2-1$的图象。
【答案】：先确定顶点$(2,-1)$，与$x$轴交点$(1,0)$、$(3,0)$，与$y$轴交点$(0,3)$，列表（如上述），再描点、用平滑曲线连线得到$y=(x - 2)^2-1$的图象。

4. 根据上一题填空：
(1) 抛物线$y = x^2$先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得到抛物线$y = (x - 2)^2 - 1$；
(2) 抛物线$y = (x - 2)^2 - 1$的图象性质：
|开口方向|对称轴|顶点坐标|最值|增减性|
|----|----|----|----|----|
|向上|$x = 2$|$(2, -1)$|当$x =$2时，$y$有最小值为-1|当$x$＞ 2时，$y$随$x$的增大而增大|

答案：
(1)右 2 下 1
(2)向上 $x = 2$ $(2, -1)$ 2 小 -1 $＞ 2$

课堂总结：
抛物线$y = ax^2\xrightarrow[上下平移]{左右平移}y = a(x - h)^2 + k$。
|$a$决定开口方向|$h$决定左右平移方向|$k$决定上下平移方向|平移规律|
|----|----|----|----|
|$a ＞ 0$，开口向上|左+|上+|左+右-|
|$a ＜ 0$，开口向下|右-|下-|上+下-|
方法提示：由$a$，$h$，$k$的作用画出$y = a(x - h)^2 + k$的大致图象，即可确定它的五要素。
知识点2 二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象平移规律

答案： 上 下

5. 例 填空：
(1) 抛物线$y = 2x^2$先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = 2(x + 1)^2 + 3$；
(2) 抛物线$y = x^2$先向下平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = (x - 5)^2 - 4$。

答案：
(1)$y = 2(x + 1)^2 + 3$
(2)$y = (x - 5)^2 - 4$

6. 填空：
(1) 函数$y = 5(x - 3)^2 - 2$的图象可由函数$y = 5x^2$的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到；
(2) 抛物线$y = (x + 2)^2 - 3$可由抛物线$y = x^2$先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到。

答案：
(1)右 3 下 2
(2)左 2 下 3