《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. (2024·恩平校级期中改编)已知二次函数$y=(x-m)^{2}-1$，当二次函数的图象经过坐标原点$O(0,0)$时，
(1)求二次函数的解析式；
(2)试判断点$P(-1,2)$是否在此函数的图象上.

答案： 解:
(1)$\because$二次函数的图象经过坐标原点$O(0,0)$，
$\therefore m^{2}-1 = 0$，解得$m=\pm1$。
$\therefore$二次函数的解析式为$y=(x - 1)^{2}-1 = x^{2}-2x$或$y=(x + 1)^{2}-1 = x^{2}+2x$。
(2)当$y = x^{2}-2x$时，
令$x=-1$，
则$y=(-1)^{2}-2\times(-1)=3\neq2$。
$\therefore P(-1,2)$不在$y = x^{2}-2x$的图象上；
当$y = x^{2}+2x$时，令$x=-1$，
则$y=(-1)^{2}+2\times(-1)=-1\neq2$。
$\therefore P(-1,2)$不在$y = x^{2}+2x$的图象上。
综上所述，点$P(-1,2)$不在此函数的图象上。

8. 【原创题】已知某二次函数的图象如图所示.
(1)求这个二次函数的解析式；
解:由图象可知，二次函数过点$(0,2)$，$(1,0)$，$(2,0)$，
设解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
将三个点的坐标代入，
得$\begin{cases}c = 2,\\a + b + c = 0,\\4a + 2b + c = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b=-3,\\c = 2,\end{cases}$
$\therefore$这个二次函数的解析式为$y =$$x^{2}-3x + 2$。
(2)利用图象回答：当$x$取何值时，$y≤0$?
$1\leqslant x\leqslant2$

答案： 解:
(1)由图象可知，二次函数过点$(0,2)$，$(1,0)$，$(2,0)$，
设解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
将三个点的坐标代入，
得$\begin{cases}c = 2,\\a + b + c = 0,\\4a + 2b + c = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b=-3,\\c = 2,\end{cases}$
$\therefore$这个二次函数的解析式为$y = x^{2}-3x + 2$。
(2)$1\leqslant x\leqslant2$。

9. (2024·顺德区二模)如图，菱形$OABC$的边长为$2$，点$C$在$y$轴的负半轴上，抛物线$y=ax^{2}$过点$B$.若$∠AOC=60^{\circ}$，则$a=$$-1$.

答案： $-1$

10. 【原创题】如图，在$x$轴上，存在一个点$P$使$PA+PB$的值最小，则点$P$的坐标为$(2,0)$.

答案： $(2,0)$

11. (2024·惠州期中)如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+c$过点$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(-1,8)$，顶点为$M$.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)求顶点$M$的坐标.
(3)$x$轴上是否存在一点$P$，使得$PA+PM$的值最小? 若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解:
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2}+bx + c$过点$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(-1,8)$，
$\therefore\begin{cases}c = 3,\\a + b + c = 0,\\a - b + c = 8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b=-4,\\c = 3.\end{cases}$
$\therefore$该抛物线的解析式为$y = x^{2}-4x + 3$。
(2)由
(1)得$y = x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1$，
$\therefore$顶点$M$的坐标为$(2,-1)$。
(3)存在.理由如下:
如图，连接$AM$交$x$轴于点$P$，

此时$PA + PM$的值最小。
设直线$AM$的解析式为$y = kx + n$。
把$A(0,3)$，$M(2,-1)$代入解析式，得
$\begin{cases}n = 3,\\2k + n = - 1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\n = 3.\end{cases}$
$\therefore$直线$AM$的解析式为$y=-2x + 3$。
当$y = 0$时，由$-2x + 3 = 0$，
得$x=\frac{3}{2}$，
$\therefore P(\frac{3}{2},0)$。