《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

6. (2024·佛山模拟)综合与实践
主题:正方形卡纸的裁切与拼接
素材:大小不等的两张正方形卡纸
步骤 1:将大正方形卡纸 ABCD 和小正方形卡纸 BEFG 按图 1 所示的方式摆放(点 G 在 BC 上),用圆规在 AB 上截取 AH = BE,连接 DH,HF;
步骤 2:沿虚线 DH,HF 裁切卡纸,然后拼接成一个大正方形.
【猜想与证明】
(1)△DAH 与△HEF 是否全等? 请证明你的猜想.
【迁移与应用】
(2)若大正方形卡纸的边长是小正方形的两倍,将大正方形卡纸对折两次并展开后,按图 2 所示的方式摆放(虚线为折痕),请你用无刻度的直尺在图 2 中画出两条裁切线,使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形.

答案：
解:
(1) $ \triangle D A H \cong \triangle H E F $. 证明如下:
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 和 $ BEFG $ 都是正方形,
$ \therefore \angle A = \angle E = 90^{\circ} $, $ AD = AB $,
$ B E = E F $.
$ \because A H = B E $,
$ \therefore A H = E F $,
$ A B = E H $.
$ \therefore A D = E H $.
在 $ \triangle D A H $ 和 $ \triangle H E F $ 中,
$ \left\{ \begin{array} { l } { A D = E H, } \\ { \angle A = \angle E, } \\ { A H = E F, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle D A H \cong \triangle H E F ( \text{SAS} ) $.
(2) 如图 2 所示.

7. (2024·梅州期末)P 是线段 AB 上的动点,分别以 AP,BP 为边在 AB 的同侧作正方形 APCD 与正方形 PBEF.
(1)如图 1,连接 AF,BC,AF 与 BC 的位置关系是____,数量关系是____;
(2)如图 2,将正方形 PBEF 绕点 P 逆时针旋转,使得点 E 落在线段 BC 上,EF 交 PC 于点 G 且 G 恰好是 PC 的中点,连接 DF,AF,若 DA = DF,AF = 10,求$ S_{△CEG};(3)$如图 3,将正方形 PBEF 绕点 P 旋转至如图所示的位置,且 AP = PB,连接 AF,CB 交于点 H,连接 PH,请直接写出 AH,PH,HF 之间的数量关系.

答案：
解:
(1) $ A F \perp B C $ $ A F = B C $
(2) 如图 2, 过点 $ D $ 作 $ D N \perp A F $ 于点 $ N $,

$ \because D A = D F $, $ \therefore A N = N F = 5 $.
$ \because \angle A P F + \angle F P G = 90^{\circ} $,
$ \angle C P B + \angle F P G = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle A P F = \angle C P B $.
又 $ \because A P = C P $, $ P F = P B $,
$ \therefore \triangle A P F \cong \triangle C P B ( \text{SAS} ) $.
$ \therefore A F = C B = 10 $,
$ \angle A F P = \angle B = 90^{\circ} $.
$ \therefore \angle F A P + \angle A P F = 90^{\circ} $.
又 $ \because \angle F A P + \angle D A N = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle D A N = \angle A P F $.
又 $ \because \angle D N A = 90^{\circ} = \angle A F P $,
$ A D = P A $,
$ \therefore \triangle A N D \cong \triangle P F A ( \text{AAS} ) $.
$ \therefore A N = P F $.
$ \therefore B E = P B = P F = A N = 5 $.
$ \therefore C E = B C - B E = 5 $.
$ \because E G // P B $,
$ \therefore E G = \frac { 1 } { 2 } P B = \frac { 5 } { 2 } $.
$ \therefore S _ { \triangle C E G } = \frac { 1 } { 2 } C E \cdot E G $
$ = \frac { 1 } { 2 } × 5 × \frac { 5 } { 2 } = \frac { 25 } { 4 } $.
(3) $ P H = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( A H - H F ) $. 理由如下:
如图 3, 过点 $ P $ 作 $ P M \perp A F $ 于点 $ M $, 作 $ P N \perp B C $ 于点 $ N $,

则 $ \angle P M H = \angle P N H = 90^{\circ} $.
设 $ A F $ 交 $ P C $ 于点 $ O $.
$ \because \angle A P C = \angle F P B = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle A P F = \angle C P B $.
又 $ \because A P = C P $, $ P F = P B $,
$ \therefore \triangle A P F \cong \triangle C P B ( \text{SAS} ) $.
$ \therefore \angle P C B = \angle P A F $, $ P M = P N $.
又 $ \because \angle C O H = \angle A O P $,
$ \therefore \angle C H O = \angle A P O = 90^{\circ} $.
$ \therefore $ 四边形 $ P M H N $ 是正方形.
$ \therefore \angle P H M = 45^{\circ} $.
$ \therefore P H = \sqrt { 2 } M H $.
$ \because A P = P B $, $ P B = F P $,
$ \therefore A P = F P $.
又 $ \because P M \perp A F $, $ \therefore A M = M F $.
$ \therefore M H = M F - H F $
$ = \frac { A H + H F } { 2 } - H F $
$ = \frac { A H - H F } { 2 } $.
$ \therefore P H = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( A H - H F ) $.