《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,在网格中,试判断$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是否相似,并说明理由.


解：相似. 理由如下：
∵$ AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}，$BC = 5，$AC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}，$DE = 1，$EF = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}，$$DF = \sqrt{2}，$
∴$ \frac{AB}{DE} = \sqrt{5}，$$\frac{BC}{EF} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}，$
$\frac{AC}{DF} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}，$∴$ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}，$
∴ △ABC ~ △DEF.

答案： 解：相似. 理由如下：
∵$ AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}，$BC = 5，$AC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}，$DE = 1，$EF = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}，$$DF = \sqrt{2}，$
∴$ \frac{AB}{DE} = \sqrt{5}，$$\frac{BC}{EF} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}，$
$\frac{AC}{DF} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}，$
∴$ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}，$
∴ △ABC ~ △DEF.

8. (BS九上P102改编)如图,$D,E,F$分别是$\triangle ABC$三边的中点. 求证:$\triangle ABC\backsim \triangle FED$.

答案： 证明：
∵ D，E，F 分别是 △ABC 三边的中点，
∴ DE，DF，EF 分别是 △ABC 的中位线，
∴$ DE = \frac{1}{2}BC，$$DF = \frac{1}{2}AC，$
$EF = \frac{1}{2}AB，$
∴$ \frac{ED}{BC} = \frac{FD}{AC} = \frac{FE}{AB} = \frac{1}{2}，$
∴ △ABC ~ △FED.

9. 【易错题】如图,点$D$在$AB$上,如果$AC^{2}=AD\cdot AB$,那么$\triangle ACD$与$\triangle ABC$相似吗? 为什么?


解：相似. 理由如下：
∵ AC² = AD·AB，
∴$ \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}.$又∵ ∠A = ∠A，
∴ △ACD ~ △ABC.

答案： 解：相似. 理由如下：
∵ AC² = AD·AB，
∴$ \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}.$又
∵ ∠A = ∠A，
∴ △ACD ~ △ABC.

10. (2024·连南县期中)如图,在$Rt\triangle ACB$中,$∠C=90^{\circ },AC=16cm,BC=8cm$,动点$P$从点$C$出发,沿$CA$方向运动;动点$Q$同时从点$B$出发,沿$BC$方向运动. 如果点$P$的运动速度为$4cm/s$,点$Q$的运动速度为$2cm/s$,那么运动____0.8 s 或 2 s时,$\triangle ABC$和$\triangle PCQ$相似.

答案： 0.8 s 或 2 s