《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

2. (BS 九上 P129 问题解决)(2024·深圳期中)综合与实践
【活动主题】利用影子测量路灯的高度.
【情境呈现】如图 1,身高 1.5 m 的小王晚上在路灯灯柱 AH 下散步,他先从路灯底部 A 向东走 10 步到点 M 处,发现自己影子的端点落在点 P 处,做好记号后,继续沿刚才自己的影子走 4 步恰好到达点 P 处,此时影子的端点在点 Q 处,已知小王和灯柱的底端在同一水平线上,小王的步间距保持一致.
【画图操作】(1)请在图中画出路灯 O 和影子端点 Q 的位置;
【解决问题】(2)求路灯 AO 的高,并求影长 PQ 的步数;
【活动反思】(3)无论点光源还是视线,其本质是相同的,日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题. 如图 2,小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB,他调整自己的位置,设法使斜边 DF 保持水平,并且边 DE 与点 B 在同一直线上. 测得 DF = 0.5 m,EF = 0.3 m,CF = 9.5 m,小明眼睛到地面的距离为 1.5 m,则树高 AB 为____m.

答案：
解:
(1) 如图 1 所示, 点 $ O $ 和点 $ Q $ 即为所求。

(2) 设 $ A O = x \mathrm { m } $, $ P Q = y $ 步。
依题意, 得 $ M P = 4 $ 步, $ A M = 10 $ 步, $ M N = B P = 1.5 \mathrm { m } $, $ A O // M N // B P $,
$ \therefore \triangle M N P \backsim \triangle A O P $, $ \triangle P B Q \backsim \triangle A O Q $。
$ \therefore \frac { M N } { A O } = \frac { M P } { A P } = \frac { P Q } { A Q } $,
即 $ \frac { 1.5 } { x } = \frac { 4 } { 4 + 10 } = \frac { y } { y + 10 + 4 } $,
解得 $ x = 5.25 $, $ y = 5.6 $。
经检验, $ x = 5.25 $, $ y = 5.6 $ 是原方程的解, 且符合题意。
$ \therefore $ 路灯 $ A O $ 的高是 $ 5.25 \mathrm { m } $, 影长 $ P Q $ 的步数是 $ 5.6 $ 步。
(3) 在 $ \mathrm { Rt } \triangle D E F $ 中,
$ D E = \sqrt { 0.5 ^ { 2 } - 0.3 ^ { 2 } } = 0.4 ( \mathrm { m } ) $,
$ \because \angle D = \angle D $, $ \angle D E F = 90 ^ { \circ } = \angle D C B $,
$ \therefore \triangle D E F \backsim \triangle D C B $。
$ \therefore \frac { E F } { C B } = \frac { D E } { D C } $。
$ \because D C = D F + F C = 0.5 + 9.5 = 10 ( \mathrm { m } ) $,
$ \therefore \frac { 0.3 } { B C } = \frac { 0.4 } { 10 } $。$ \therefore B C = 7.5 \mathrm { m } $。
$ \therefore A B = 1.5 + 7.5 = 9 ( \mathrm { m } ) $。
故答案为 9。