《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (1) 小明在学习“矩形”这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考：这个定理的逆命题成立吗？他猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”。通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：
已知：如图 1，在△ABC 中，D 是边 AB 上的中点，连接 CD，且 CD = $\frac{1}{2}AB$。
求证：△ABC 为直角三角形。
证明：由条件可知，AD = BD = CD，则∠A = ∠DCA，∠B = ∠DCB。
又因为∠A + ∠DCA + ∠B + ∠DCB = 180°，所以∠DCA + ∠DCB = ∠ACB = 90°，即△ABC 为直角三角形。
爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了如图 2、图 3 两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整。
证法一：如图 2，延长 CD 至点 E，使 DE = CD，连接 AE，BE
证法二：如图 3，分别取边 AC，BC 的中点 E，F，连接 DE，DF，EF，则 DE，DF，EF 为△ABC 的中位线
(2) 如图 4，在△ABC 中，BD，CE 是高，G，F 分别是 BC，DE 的中点。试判断 FG 与 DE 的位置关系，并加以证明。

答案：

(1)证明:证法一:
∵D是AB的中点,
∴AD=DB.
∴四边形ACBE是平行四边形.
又
∵CD=$\frac{1}{2}$AB,CD=$\frac{1}{2}$CE,
∴AB=CE.
∴四边形ACBE是矩形.
∴∠ACB=90°.
∴△ABC为直角三角形.
证法二:
∵DE,DF,EF为△ABC的中位线,
∴DE//BC,DF//AC,EF=$\frac{1}{2}$AB.
∴四边形CFDE是平行四边形.
∵CD=$\frac{1}{2}$AB,
∴EF=CD.
∴四边形CFDE是矩形.
∴∠ACB=90°.
∴△ABC为直角三角形.
(2)解:FG⊥DE.证明如下:
如图4,连接DG,EG,

∵BD,CE分别是△ABC的边AC,AB上的高,G是BC的中点,
∴DG=EG=$\frac{1}{2}$BC.
又
∵F是DE的中点,
∴FG⊥DE.