《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

| | 全等 | 相似 |
| --- | --- | --- |
| 定义 | 形状和大小都相同的图形 | 形状相同的图形 |
| 图例 | | |
| 符号表示 | $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ | $\triangle ABC$ ~ $\triangle$ A'B'C' |
| 相同点 | ①形状相同；②全等是特殊的相似；③对应的字母要写在对应位置上 |
| 不同点 | 把一个图形按$m:n$放大(或缩小)，就可得到它的相似图形，当$m:n = 1:1$时全等 |

答案： 相同 ~ A'B'C'

对应角相等，对应边的比相等。
几何语言：如图，
∵四边形ABCD~四边形A'B'C'D'，
∴∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，∠D = ∠D'，
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'}$。
相似图形对应边的比叫做相似比，记作$k$。

答案： 相等 相等
四边形ABCD~四边形A'B'C'D'
∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，$∠D = ∠D'\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'}$对应边

如果两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似。
几何语言：如图，
∵∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，∠D = ∠D'，
且$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'}$，
∴四边形ABCD~四边形A'B'C'D'。

答案： 相等 对应边
∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，$∠D = ∠D'\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'}$四边形ABCD~四边形A'B'C'D'

1. 如图，已知四边形$ABCD \backsim$四边形$A'B'C'D'$。
(1)求$\angle A$，$\angle D'$的度数和$x$，$y$的长；$\angle A=$130°，$\angle D'=$90°，$x=$10，$y=$3
(2)相似比$k =$$\frac{1}{2}$。

答案： 解：
(1) ∠A = ∠A' = 130°，
∠D' = 360° - 60° - 80° - 130° = 90°，
∵$ \frac{2}{4} = \frac{5}{x} = \frac{y}{6}，$
∴ x = 10，y = 3。$(2) \frac{1}{2}$

2. 如图，已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$。
(1)求$x$，$y$的值；$x = 4$，$y = \frac{7}{3}$
(2)相似比$k =$$3:1$。

答案： 解：
(1)
∵$ \frac{x}{12} = \frac{y}{7} = \frac{3}{9}，$
∴ x = 4，$y = \frac{7}{3}。$
(2) 3:1

3. 如图，求证：矩形$ABCD \backsim$矩形$A'B'C'D'$。

答案： 证明：
∵ 四边形ABCD，A'B'C'D'是矩形，
∴ AD = BC = 3，CD = AB = 2，
A'D' = B'C' = 9，
C'D' = A'B' = 6。
∴$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}，$
$\frac{BC}{B'C'} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}，$$\frac{AD}{A'D'} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}，$
$\frac{CD}{C'D'} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}。$
∴$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AD}{A'D'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{1}{3}。$
又
∵ 两个矩形所有内角均为90°，
∴ 矩形ABCD~矩形A'B'C'D'。

4. 如图，求证：菱形$ABCD \backsim$菱形$A'B'C'D'$。
证明：在菱形ABCD中，
∠B = 50°，
∴ ∠D = 50°，∠A = 130°，
∠C = 130°。
在菱形A'B'C'D'中，
∠B' = 50°，
∴ ∠D' = 50°，∠A' = 130°，
∠C' = 130°。
∴ ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
∠C = ∠C'，∠D = ∠D'。
又∵ 菱形的四条边均相等，
∴$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{AD}{A'D'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = $$\frac{2}{4}$。
∴ 菱形ABCD~菱形A'B'C'D'。

答案： 证明：在菱形ABCD中，
∠B = 50°，
∴ ∠D = 50°，∠A = 130°，
∠C = 130°。
在菱形A'B'C'D'中，
∠B' = 50°，
∴ ∠D' = 50°，∠A' = 130°，
∠C' = 130°。
∴ ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
∠C = ∠C'，∠D = ∠D'。
又
∵ 菱形的四条边均相等，
∴$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{AD}{A'D'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{2}{4}。$
∴ 菱形ABCD~菱形A'B'C'D'。