《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

菱形的判定(1)：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定(2)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定(3)：四边相等的四边形是菱形，几何语言：∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形

答案： 相等 平行四边
垂直 平行四边
相等 四边
四边形ABCD是平行四边形，AB=AD
四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
AB=BC=CD=AD

1. 如图，在平行四边形ABCD中，∠1=∠2. 求证：平行四边形ABCD是菱形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB.
∴∠3=∠2.
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3.
∴AD=CD.
∴平行四边形ABCD是菱形.

2. (2024·佛山校级期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE=AF. 求证：四边形ABCD是菱形.


证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE和△ADF中，
{∠B=∠D，
∠AEB=∠AFD，
AE=AF，
∴△ABE≌△ADF(AAS).
∴AB=AD.
∴四边形ABCD是菱形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE和△ADF中，
{∠B=∠D，
∠AEB=∠AFD，
AE=AF，
∴△ABE≌△ADF(AAS).
∴AB=AD.
∴四边形ABCD是菱形.

3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AB//CD，O为BD的中点. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵O为BD的中点，
∴OB=OD.
∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO，
∠BAO=∠DCO.
在△AOB和△COD中，
{∠BAO=∠DCO，
∠ABO=∠CDO，
OB=OD，
∴△AOB≌△CODAAS.
∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.

答案： 证明：
∵O为BD的中点，
∴OB=OD.
∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO，
∠BAO=∠DCO.
在△AOB和△COD中，
{∠BAO=∠DCO，
∠ABO=∠CDO，
OB=OD，
∴△AOB≌△COD(AAS).
∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.

4. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=1/2 AC=12，OB=1/2 BD=5.
∵OA² + OB² = 12² + 5² = 169，
AB² = 13² = 169，
∴OA² + OB² = AB².
∴∠AOB = 90°，即AC⊥BD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=1/2 AC=12，OB=1/2 BD=5.
∵OA² + OB² = 12² + 5² = 169，
AB² = 13² = 169，
∴OA² + OB² = AB².
∴∠AOB = 90°，即AC⊥BD.
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.