《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

2. (2024·灌南县月考)综合与实践
【提出问题】有两个相同的长方体纸盒,它们的长、宽、高分别是 16 cm,6 cm,2 cm. 现要用这两个纸盒搭成一个大长方体,怎样搭可使长方体的表面积最小?
【实践操作】我们发现,无论怎样放置这两个长方体纸盒,搭成的大长方体体积都不变,但是由于摆放位置的不同,它们的表面积会发生变化,经过操作,发现共有 3 种不同的摆放方式,如图所示:

【探究结论】(1)请计算图 1、图 2、图 3 中的大长方体的长、宽、高及其表面积,并填充表格:
| | 长(cm) | 宽(cm) | 高(cm) | 表面积(cm²) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 图 1 | 16 | 6 | ____ | ____ |
| 图 2 | ____ | 6 | 2 | ____ |
| 图 3 | 16 | ____ | 2 | ____ |
根据表格可知,表面积最小的是____所示的长方体;(填“图 1”“图 2”或“图 3”)
【解决问题】(2)现在有 4 个小长方体纸盒,每个长方体的长、宽、高都分别是 a,b,c,其中 a ＞ 2b 且 b ＞ 2c. 若用这 4 个长方体纸盒搭成一个大长方体,共有____种不同的方式,搭成的大长方体的表面积最小为____cm²(用含 a,b,c 的代数式表示),请简单说明理由;
【实践应用】(3)春节将至,小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒,商家准备将所有礼盒打包成一个包裹寄走. 如图 4 是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影),请帮忙计算打包用的包装纸最少需要多少平方米.(接头处忽略不计)

答案：
解:
(1)在图1中,长方体的高为4cm,表
面积为
$ 2(16 × 6 + 16 × 4 + 4 × 6) = 368 $
$ (cm^{2}) $.
在图2中,长为32cm,表面积为
$ 2(32 × 6 + 32 × 2 + 6 × 2) = 536 cm^{2} $.
在图3中,宽为12cm,表面积为2
$ (16 × 12 + 16 × 2 + 12 × 2) = 496 $
$ cm^{2} $.
∴图1的表面积最小.
故答案分别为4,368,32,536,12,496,图1.
(2)①当 $ a \neq 3b $ 且 $ b \neq 3c $ 时,共有6种搭法,可分为两类:
第一类有三种情况,如图5,

表面积分别为
$ (8ab + 8ac + 2bc) cm^{2} $,
$ (8ab + 2ac + 8bc) cm^{2} $,
$ (2ab + 8ac + 8bc) cm^{2} $;
第二类有三种情况,如图6,

表面积分别为
$ (4ab + 4ac + 8bc) cm^{2} $,
$ (8ab + 4ac + 4bc) cm^{2} $,
$ (4ab + 8ac + 4bc) cm^{2} $.
②如图7,

当 $ a = 3b $ 时,表面积为
$ (8ab + 3ac + 5bc) cm^{2} $;
当 $ b = 3c $ 时,表面积为
$ (3ab + 5ac + 8bc) cm^{2} $.
∴共有 $ 6(a \neq 3b $ 且 $ b \neq 3c) $ 或 $ 7(a = 3b $ 且 $ b \neq 3c $ 或 $ b = 3c $ 且 $ a \neq 3b) $ 或 $ 8(a = 3b $ 且 $ b = 3c) $ 种不同的方式.
又
∵ $ a ＞ 2b $ 且 $ b ＞ 2c $,
∴搭成的大长方体的表面积最小为
$ (2ab + 8ac + 8bc) cm^{2} $.
故答案分别为 $ 6(a \neq 3b $ 且 $ b \neq 3c) $ 或 $ 7(a = 3b $ 且 $ b \neq 3c $ 或 $ b = 3c $ 且 $ a \neq 3b) $ 或 $ 8(a = 3b $ 且 $ b = 3c) $, $ (2ab + 8ac + 8bc) $.
(3)根据三视图可知有4个长方体礼盒,礼盒的长、宽、高分别为75cm,35cm,15cm,这要使包装的纸最少,应该把长方体最大的面重合在一起,即把 $ 75 × 35 $ 的面重合在一起,这样包装后的长方体,长是75cm,宽为35cm,高为 $ 15 × 4 = 60 $
$ (cm) $,
∴长方体的表面积为
$ (75 × 35 + 75 × 60 + 60 × 35) × 2 = 18450(cm^{2}) = 1.845(m^{2}) $.
答:最少需要 $ 1.845 m^{2} $ 的包装纸.