《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

2.【数学与生活融合项目式学习】山西省首座独塔悬索桥——通达桥,全长 $ 1.54 \mathrm{~km} $,主桥横跨汾河,全长 $ 416 \mathrm{~m} $,宽 $ 45 \mathrm{~m} $,是太原新建成的一座跨河大桥,桥的主塔由曲线形拱门组成,取意“时代之门”.某数学“综合与实践”小组把“测量通达桥拱门的高度”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量结果如表:
|项目|测量通达桥拱门的高度|
|----|----|
|测量示意图及说明||说明:他们利用无人机技术进行测量,$ AB $ 代表通达桥拱门,$ C,D $ 是两个观测点,已知 $ CD \perp BM $,$ AB \perp BM $,点 $ A,B,C,D $ 在同一平面内,$ BM $ 为桥面|
|测量数据|点 $ C $ 处的仰角|点 $ D $ 处的俯角|观测点 $ C $ 距桥面的高度|点 $ D,C $ 之间的距离|
| | $ 30^{\circ} $| $ 45^{\circ} $| $ 50 \mathrm{~m} $| $ 200 \mathrm{~m} $|
|...|...|
任务一:请运用你所学的知识,根据表中的测量数据,帮助“综合与实践”小组求出通达桥拱门的高度 $ AB $;(结果保留整数,参考数据:$ \sqrt{3} \approx 1.73 $,$ \sqrt{2} \approx 1.41 $)
任务二:请你根据所学的知识,再设计一种方案,画出示意图,并写出需要测量的量.

答案：
解: 任务一: 如图 1, 延长 $ D C $ 交 $ B M $ 于点 $ N $, 过点 $ A $ 作 $ A P \perp D C $ 于点 $ P $,

$ \because C D \perp B M, A B \perp B M $,
$ \therefore \angle A P N = \angle P N B = \angle A B N = 90 ^ { \circ } $.
$ \therefore $ 四边形 $ A P N B $ 为矩形.
$ \therefore A B = P N $.
依题意, 得
$ \angle A C P = 90 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 60 ^ { \circ } $,
$ \angle A D P = 90 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ } $,
$ C N = 50 m, D C = 200 m $,
在 $ Rt\triangle A P D $ 中,
$ \tan \angle A D P = \tan 45 ^ { \circ } = \frac { A P } { D P } = 1 $,
$ \therefore A P = D P $.
在 $ Rt\triangle A P C $ 中,
$ \tan \angle A C P = \tan 60 ^ { \circ } = \frac { A P } { P C } = \sqrt { 3 } $,
$ \therefore D P = A P = \sqrt { 3 } P C $.
$ \because D C = 200 m $,
$ \therefore P C + P D = P C + \sqrt { 3 } P C = 200 $.
$ \therefore P C = \frac { 200 } { \sqrt { 3 } + 1 } = 100 ( \sqrt { 3 } - 1 ) \approx 100 × ( 1.73 - 1 ) = 73 ( m ) $.
$ \because C N = 50 m $,
$ \therefore A B = P N = P C + C N = 73 + 50 = 123 ( m ) $.
答: 通达桥拱门的高度 $ A B $ 约为 $ 123 m $.
任务二: 测量方案如图 2 所示, 需要测量的量有 $ \angle A C B $ 的度数, $ \angle A D C $ 的度数, 点 $ D, C $ 之间的距离. (答案不唯一)